Die voorwaardelike waarskynlikheid: 7 interessante feite om te weet


Voorwaardelike waarskynlikheid

voorwaardelike waarskynlikheidsleer kom uit die konsep om groot risiko te neem. daar is deesdae baie kwessies wat van die kansspel spruit, soos munte gooi, dobbelstene gooi en kaarte speel. 

Voorwaardelike waarskynlikheidsteorie word toegepas in baie verskillende domeine en die buigsaamheid van Voorwaardelike waarskynlikheid verskaf gereedskap vir byna soveel verskillende behoeftes. waarskynlikheidsteorie en steekproewe wat verband hou met die studie van die waarskynlikheid dat gebeurtenisse sal plaasvind.

Beskou X en Y is albei twee gebeurtenisse van 'n toevallige eksperiment. Daarna staan ​​die waarskynlikheid van die gebeure van X onder die omstandigheid dat Y reeds gebeur het met P (Y) ≠ 0, bekend as voorwaardelike waarskynlikheid en word aangedui deur P (X / Y).

Daarom, P (X / Y) = Die waarskynlikheid dat X sal gebeur, mits Y reeds gebeur het.

P(X ⋂ Y)/P( Y ) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

Net so is P (Y / X) = Die waarskynlikheid van die voorkoms van Y, aangesien X reeds gebeur het.

P(X ⋂ Y)/P( X ) = n(X ⋂ Y)/n (Y )

Kortliks vir sommige gevalle, word P (X / Y) gebruik om die waarskynlikheid van die voorkoms van X te spesifiseer wanneer Y voorkom. Net so word P (Y / X) gebruik om die waarskynlikheid te spesifiseer dat Y sal gebeur terwyl X gebeur.

Wat is Vermenigvuldigingstelling oor Waarskynlikheid?

As X en Y albei selfonderhoudende (onafhanklike) gebeurtenisse van 'n arbitrêre eksperiment is, dan

P( X Y) = P( X ). P( X/Y ), as P ( X ) ≠ 0

P( X Y) = P( Y ). P( Y/X ), as P ( Y ) ≠ 0

Wat is Vermenigvuldigingstellings vir onafhanklike gebeurtenisse? 

If X en Y is albei selfondersteunende (onafhanklike) gebeurtenisse wat aan 'n arbitrêre eksperiment gekoppel is, dan P(X ∩ Y) =P(X).P(Y)

dit wil sê, die waarskynlikheid dat twee onafhanklike gebeurtenisse gelyktydig plaasvind, is gelyk aan die vermenigvuldiging van hul waarskynlikhede. Deur vermenigvuldigingstelling te gebruik, het ons P(X ∩ Y) =P(Y).P(Y/X)

 Aangesien X en Y onafhanklike gebeurtenisse is, daarom P(Y/X)=P(Y)

Impliseer, P(X ∩ Y) =P(X).P(Y)

Terwyl gebeure mekaar uitsluit: 

As X en Y onderling uitsluitende gebeurtenisse is, dan is ⇒ n(X ∩ Y)= 0 , P(X ∩ Y) = 0

P(XUY)=P(X) +P(Y)

Vir enige drie gebeurtenisse X, Y, Z wat onderling uitsluitend is, 

P(X ∩ Y)= P(Y ∩ Z) =P(Z ∩ X) =P(X ∩ Y ∩ Z) =0

P (X ⋃ Y ⋃ Z) = P(X) + P(Y) + P(Z)

Terwyl gebeure onafhanklik is: 

As X en Y onbeperkte (of onafhanklike) gebeure is, dan

P(X ∩ Y) = P(X).P(Y)

P(XUY) = P(X) + P(Y) – P(X). P(Y)

Laat X en Y dan twee gebeurtenisse wees wat verband hou met 'n arbitrêre (of ewekansige) eksperiment

As Y⊂ X, dan

(b) P(Y) ≤ P(X)

Net so as X⊂ Y, dan

(b) P(X) ≤ P(Y)

Waarskynlikheid van voorkoms van nóg X nóg Y is 

voorbeeld: As 'n enkele kaart uit 'n pak kaarte gekies word. Wat is die moontlike kans dat dit óf 'n graaf óf 'n koning is?

oplossing:

P (A) = P ('n graafkaart) =13/52

P (B) = P ('n koningkaart) =4/52

P (óf 'n graaf óf 'n koningkaart) = P (A of B)

=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=13/52+4/52-{(13/52)*(4/52)}

= 4 / 13

voorbeeld: Dit is bekend dat iemand die teiken met 3 uit 4 kanse tref, terwyl 'n ander persoon die teiken met 2 uit 3 kanse tref. Vind uit of die waarskynlikheid dat die teiken enigsins getref sal word wanneer albei mense probeer.

oplossing:

 waarskynlikheid van teiken getref deur eerste persoon = P (A) =3/4

waarskynlikheid van teiken getref deur tweede persoon = P (B) =2/3

Die twee gebeurtenisse sluit mekaar nie uit nie, aangesien beide persone dieselfde teiken tref =P (A of B)

=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

=P(A)+P(B)-P(A)P(B)

=3/4+2/3-{(3/4)*(2/3)}

= 11 / 12

voorbeeld: If  A  en B is twee gebeurtenisse so dat P(A)=0.4 , P(A+B)=0.7 en P(AB)=0.2 dan P(B) ?

oplossing: Aangesien ons P(A+B)=P(A) +P(B) -P(AB) het

=> 0.7=0.4+ P(B)-0.2

=> P(B) =0.5

voorbeeld: 'n Kaart word arbitrêr uit 'n pak kaarte gekies. Wat is die moontlikheid dat die kaart 'n rooi kleurkaart of 'n koningin is.

Oplossing: Vereiste waarskynlikheid is

P(rooi + koningin)-P(rooi ⋂ koningin)

=P(Rooi) +P(Koningin)-P(Rooi ⋂ Koningin)

=26/52+4/52-2/52=28/52=7/13

voorbeeld: As die waarskynlikheid dat X in die toets druip 0.3 is en dat die waarskynlikheid van Y 0.2 is, vind dan die waarskynlikheid dat X of Y in die toets gedruip het?

Oplossing: Hier is P(X)=0.3, P(Y)=0.2

Nou P(X ∪ Y)= P(X) +P(Y) -P(X ⋂ Y)

Aangesien dit onafhanklike gebeure is, so

P(X ⋂ Y) =P(X) . P(Y)

Die vereiste waarskynlikheid is dus 0.3+0.2 -0.06=0.44

voorbeeld: Die kans om in Fisika te druip is 20% en die moontlikheid om in Wiskunde te druip is 10%. Wat is die moontlikhede om in ten minste een vak te druip?

Oplossing: Laat P(A) =20/100=1/5, P(B) =10/100=1/10

Aangesien gebeure onafhanklik is en ons moet vind 

P(A ∪ B)=P(A) +P(B) -P(A). P(B)

=(1/5)+(1/10)-(1/5). (1/10)= (3/10)-(1/50)=14/50

Die kans om in een vak te druip is dus (14/50)X 100=28%

voorbeeld: Die waarskynlikheid om 'n vraag deur drie studente op te los, is onderskeidelik 1/2,1, 4/1 en 6/XNUMX. Wat sal die moontlike kans wees om die vraag te beantwoord?

Oplossing:

(i) Hierdie vraag kan ook deur een student opgelos word

(ii) Hierdie vraag kan deur twee studente gelyktydig beantwoord word.

(iii) Hierdie vraag kan almal saam deur drie studente beantwoord word.

P(A)=1/2, P(B)=1/4, P(C)=1/6

P(A ∪ B ∪ C)= P(A) + P(B) +P(C)- [P(A).P(B)+P(B).P(C)+P(C). P(A)] + [P(A).P(B).P(C)]

=(1/2)+(1/4)+(1/6)-[(1/2).(1/4)+(1/4).(1/6)+(1/6).(1/2)] +[(1/2).(1/4).(1/6)] =33/48

voorbeeld: 'n Ewekansige veranderlike X het die waarskynlikheidsverdeling

X12345678
P(X)0.150.230.120.100.200.080.070.05
Voorwaardelike waarskynlikheid: Voorbeeld

Vir die gebeure E ={X is priemgetal} en F={X<4}, vind die waarskynlikheid van P(E ∪ F) .

Oplossing:

E ={ X is 'n priemgetal}

P(E) = P(2) +P(3)+ P(5) +P(7) =0.62

F ={X < 4}, P(F) =P(1)+P(2)+P(3)=0.50

en P(E ⋂ F) = P(2)+ P(3) =0.35

P(E ∪ F) =P(E)+P(F) – P(E ⋂ F)

      = 0.62+0.50 – 0.35 = 0.77

voorbeeld: Drie munte word gegooi. As een van hulle stert verskyn, wat sou dan die moontlike kans wees dat al die drie munte stert verskyn?

Oplossing: Oorweeg E is die gebeurtenis waar al die drie munte verskyn stert en F is die gebeurtenis waar 'n muntstuk stert verskyn. 

F= {HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

en E = {TTT}

Vereiste waarskynlikheid = P(E/F)=P(E ⋂F )/P(E)=1/7

Totale waarskynlikheid en Baye se reël

Die wet van totale waarskynlikheid:

Vir die steekproefruimte S en n wedersyds uitsluitende en uitputtende gebeurtenisse E1 E2 ….En verband hou met 'n ewekansige eksperiment. As X 'n spesifieke gebeurtenis is wat met die gebeurtenisse E gebeur1 of E2 of …of En, Dan 

Baye se reël: 

Oorweeg S wees 'n voorbeeldruimte en E1, E2, …..En be n inkongruente (of wedersyds uitsluitende) gebeure soos dat

en P(Ei) > 0 vir i = 1,2,…,n

Ons kan aan dink Eise as die faktore wat lei tot die uitkoms van die an eksperiment. Die waarskynlikhede P(Ei), i = 1, 2, ….., n word bekend as vorige (of vroeëre) waarskynlikhede genoem. Indien die assessering uitkoms in 'n resultaat van gebeurtenis X, waar P(X) > 0. Dan moet ons die moontlikheid waarneem dat die waargenome gebeurtenis X te wyte was aan oorsaak Ei, dit wil sê, ons soek die voorwaardelike waarskynlikheid P(Ei/X) . Hierdie waarskynlikhede staan ​​bekend as posterior waarskynlikhede, gegee deur Baye se reël as

voorbeeld: Daar is 3 bokse wat bekend is dat hulle 2 blou en 3 groen albasters bevat; 4 blou en 1 groen albasters en 3 blou en 7 groen albasters onderskeidelik. 'n Albaster word lukraak uit een van die bokse getrek en gevind dat dit 'n groen bal is. Wat is dan die waarskynlikheid dat dit uit die boks getrek is wat die meeste groen albasters bevat.

Oplossing: Oorweeg die volgende gebeurtenisse:

A -> albaster getrek is groen;

E1 -> Raam 1 is gekies;

E2 Boksie 2 word gekies

E3 Kassie 3 word gekies.

P(E1)=P(E2)=P(E3)=1/3 , p(A/E1)=3/5

Toe

P(A/E2)=1/5, P(A/E3)=7/10

Vereiste waarskynlikheid =P(E3/A)

P(E3)P(A/E3)/P(E1)P(A/E1)+P(E2)P(A/E2)+P(E3)P(A/E3)=7/15

voorbeeld: In 'n toelatingstoets is daar meerkeusevrae. Daar is vier waarskynlike korrekte antwoorde op elke vraag waarvan een reg is. Die moontlike kans dat 'n leerling die regte antwoord op 'n bepaalde vraag waarneem, is 90%. As hy die regte antwoord op 'n spesifieke vraag kry, wat is dan die waarskynlike kans dat hy voorspel het.

Oplossing: Ons definieer die volgende gebeurtenisse:

A1 : Hy ken die antwoord.

A2 : Hy weet dalk nie die antwoord nie.

E: Hy is bewus van die regte antwoord.

P(A1) =9/10, P(A2) =1-9/10=1/10, P(E/A1)=1,

P(E/A2) = 1/4

Dus die verwagte waarskynlikheid

Voorwaardelike waarskynlikheid
Voorwaardelike waarskynlikheid

voorbeeld: Emmer A bevat 4 geel en 3 swart albasters en emmer B bevat 4 swart en 3 geel albasters. Een emmer word lukraak geneem en 'n albaster word getrek en opgemerk dat dit Geel is. Wat is die waarskynlikheid dat dit kom Emmer B.

Oplossing: Dit is gebaseer op Baye se stelling. 

Waarskynlikheid van gepluk Emmer A , P(A)=1/2

Waarskynlikheid van gepluk Emmer B , P(B)=1/2

Waarskynlikheid van Geel Marmer uit Emmer gekies A  =P(A). P(G/A)=(1/2)x (4/7)=2/7 

Waarskynlikheid van Geel Marmer uit Emmer gekies B = P(B).P(G/B)=(1/2)x(3/7)=3/14

Totale waarskynlikheid van Geel Albasters= (2/7)+(3/14)=1/2

Waarskynlikheid dat Geel Albasters uit Emmer getrek is B  

P(G/B)={P(B).P(G/B)}/{P(A).P(G/A)+P(B).P(G/B)}={(1/2)x(3/7)}/{[(1/2)x(4/7)]+[(1/2)+(3/7)]} =3/7

Gevolgtrekking:

 In hierdie artikel bespreek ons ​​hoofsaaklik oor die Voorwaardelike waarskynlikheid en Bayes-stelling met die voorbeelde van hierdie die direkte en afhanklike gevolg van die proef wat ons tot dusver bespreek nou in die opeenvolgende artikels bring ons waarskynlikheid in verband met ewekansige veranderlike en 'n paar bekende terme wat verband hou met waarskynlikheidsteorie wat ons sal bespreek, as jy verdere lees wil hê, gaan dan deur:

Schaum's Outlines of Probability and Statistics en Wikipedia bladsy.

Vir verdere studie, verwys asseblief na ons wiskunde bladsy.

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek dra graag by tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings