Permutasie en kombinasie: 7 volledige vinnige feite


Eienskappe van permutasie en kombinasie

  Wanneer permutasie en kombinasie bespreek word aangesien ons te doen het met seleksie en rangskikking met of sonder orde-oorwegings, afhangende van die situasie is daar verskillende tipes en eienskappe vir die permutasie en kombinasie, hierdie verskille tussen permutasies en kombinasies sal ons hier verduidelik met geregverdigde voorbeelde.

permutasies sonder herhaling

  Dit is die normale permutasie wat n voorwerpe wat r op 'n slag geneem word rangskik, dws nPr

n Pr=n!/(nr)!

aantal bestellings van n verskillende voorwerpe almal op 'n slag geneem n Pn =n!

Daarbenewens het ons

nP0 = n!/n!=1

nPr = n.N-1PR-1

0! = 1

1/(-r)!= 0 of (-r)!=∞

permutasies met herhaling

 Aantal permutasies (rangskikkings) vir verskillende items, geneem r op 'n slag, waar elke item een, twee keer, drie keer kan gebeur, …….. r-keer soveel in enige rangskikking = Aantal maniere om r areas te vul waar elke item kan met enige van die n items gevul word.

Eienskappe van Permutasie en kombinasie: permutasies met herhaling

Die aantal permutasies = Die aantal maniere om te vul r plekke = (n)r

Die aantal bestellings wat georganiseer kan word deur gebruik te maak van n voorwerpe waaruit p is eenders (en van een soort) q is eenders (en van 'n ander soort), r is soortgelyk (en van 'n ander soort) en die res is afsonderlik is nPr =n!/(p!q!r!)

voorbeeld:

Op hoeveel maniere kan 5 appels onder vier seuns verdeel word wanneer elke seun een of meer appels kan neem.      

Oplossing: Dit is die voorbeeld van permutasie met herhaling soos ons weet dat dit vir sulke gevalle het

Die aantal permutasies = Die aantal maniere om te vul r plekke =nr

Vereiste aantal maniere is 45 =10, Aangesien elke appel op 4 maniere versprei kan word.

voorbeeld: Vind die aantal woorde wat georganiseer kan word met die letters van die woord WISKUNDE deur hulle te hergroepeer.

Oplossing: Hier kan ons waarneem dat daar 2 M'e, 2 A'e en 2T'e is, dit is die voorbeeld van permutasie met herhaling

=n!/(p!q!r!)

 Vereiste aantal maniere is =11!/(2!2!2!)=4989600

voorbeeld: Hoeveel maniere waarop die aantal sterte gelyk is aan die aantal koppe as ses identiese munte in 'n ry gerangskik is.

Oplossing: Hier kan ons dit waarneem

Aantal koppe=3

Aantal sterte =3

En aangesien munte identies is, is dit die voorbeeld van permutasie met herhaling =n!/(p!q!r!)

Vereiste aantal maniere =6!/(3!3!)= 720/(6X6)=20

Sirkelvormige permutasie:

In sirkelvormige permutasie, die belangrikste is dat die ordening van die voorwerp respek vir die ander is.

Dus, in sirkelvormige permutasie, pas ons die posisie van een voorwerp aan en rangskik die ander voorwerpe in alle rigtings.

Sirkulêre permutasie word in twee maniere verdeel:

(i) Sirkelvormige permutasie waar kloksgewys en antikloksgewys instellings voorstel verskillende permutasie, bv. Reëlings om mense om die tafel te sit.

(ii) Sirkelvormige permutasie waar kloksgewys en antikloksgewys instellings vertoon dieselfde permutasie, bv om sekere krale te rangskik om 'n halssnoer te skep.

Kloksgewys en antikloksgewys rangskikking

As die antikloksgewys en kloksgewys volgorde en beweging is nie anders nie bv. kralerangskikking in halssnoer, blommerangskikking in krans, ens., dan die aantal sirkelvormige permutasies van n afsonderlike items is (n-1)!/2

  1. Die aantal sirkelvormige permutasie vir n verskillende items, geneem r op 'n slag, wanneer die bestellings vir die kloksgewys en die antikloksgewys beskou word as verskillende by nPr /r
  2. Die aantal sirkelvormige permutasies vir n verskillende items, geneem r op 'n slag, wanneer kloksgewys en antikloksgewys volgordes is nie anders nie van nPr / 2r
  3. Die aantal sirkelvormige permutasies van n verskillende voorwerpe is (n-1)!
  4. Die aantal maniere waarop n verskillende seuns kan om 'n sirkelvormige tafel sit (n-1)!
  5. Die aantal maniere waarop n verskillende juwele kan opgestel word om 'n halsband te vorm, is (n-1)!/2

voorbeeld:

Op hoeveel maniere kan vyf sleutels in die ring geplaas word

Oplossing:

Aangesien kloksgewys en antikloksgewys dieselfde is in die geval van ring.

As die antikloksgewys en kloksgewys volgorde en beweging is nie anders nie dan die aantal sirkelvormige permutasies van n afsonderlike items is

=(n-1)!/2

Vereiste aantal maniere = (5-1)!/2= 4!/2=12     

voorbeeld:

Wat sal die aantal reëlings wees, As elf lede van 'n komitee om 'n ronde tafel sit sodat die President en Sekretaris altyd saam sit.

Oplossing:

Deur fundamentele eienskap van sirkelvormige permutasie

Die telling van sirkelvormige permutasies van n verskillende dinge is (n-1)!

Aangesien twee posisies reg is, het ons dit

Vereiste aantal maniere (11-2)!*2=9!*2=725760

voorbeeld: Wat sal die aantal maniere wees waarop 6 mans en 5 vroue by 'n ronde tafel kan eet as geen twee vroue saam kan sit nie

Oplossing: Deur fundamentele eienskap van sirkelvormige permutasie.

Die telling van sirkelvormige permutasies van n verskillende dinge is (n-1)!

Aantal maniere waarop 6 mans by 'n ronde tafel gerangskik kan word = (6 – 1)! =5!

Eienskappe van permutasie en kombinasie
Eienskappe van permutasie en kombinasie: Voorbeeld

Nou kan vroue in 6 gerangskik word! maniere en totale aantal maniere = 6! × 5!

Kombinasies sonder herhaling

Dit is die gewone kombinasie wat is "Die aantal kombinasies (seleksies of groepe) wat gevorm kan word uit n verskillende voorwerpe geneem r op 'n slag is nCr =n!/(nr)!r!

ook    nCr =nCrr

              n Pr /r! =n!/(nr)! =nCr

voorbeeld: Vind die aantal opsies om 12 vakatures te vul as daar 25 kandidate is en vyf van hulle is uit die geskeduleerde kategorie, mits 3 vakatures gereserveer word vir die SC kandidate gemiddelde terwyl die oorblywende oop is vir almal.

Oplossing: Aangesien 3 vakante poste gevul word vanaf 5 aansoekers in 5 C3  maniere (dws 5 KIES 3) en nou is die oorblywende kandidate 22 en die oorblywende setels is 9 so dit sou wees 22C9 (22 KIES 9) Die keuse kan gemaak word in 5 C3  X 22C9 ={5!/3!(5-3)! }X{22!/9!(22-9)!}

5 C3  X 22C9 = {(3!X4X5)/(3!X2!)}X {22!/(9!X13!)}=4974200

Die keuse kan dus op 4974200 maniere gemaak word. 

voorbeeld: Daar is 10 kandidate en drie vakatures in die verkiesing. op hoeveel maniere kan 'n kieser sy of haar stem uitbring?

Oplossing: Aangesien daar slegs 3 vakatures vir 10 kandidate is, is dit die probleem van 10 KIES 1, 10 KIES 2 en 10 KIES 3 Voorbeelde,

'n Kieser kan instem 10C1+10C2+10C3 = {10!/1!(10-1)!}+{10!/2!(10-2)!}+{10!/3!(10-3)!} =10+45+120= 175 ways.

 So op 175 maniere kan kieser stem.

voorbeeld:Daar is 9 stoele in 'n kamer vir 4 mense, waarvan een 'n enkelsitplekgas met een spesifieke stoel is. Op hoeveel maniere kan hulle sit?

Oplossing: Aangesien 3 stoele ingekies kan word 8C3 en dan kan 3 persone in 3 gereël word! maniere.

3 persone moet op 8 stoele sit 8C3 (dws 8 KIES 3) reëling

=8C3 x3! = {8! /3!(8-3)!} X3!

=56X6=336

Op 336 maniere kan hulle sit.

voorbeeld: Vir vyf mans en 4 vroue sal 'n groep van 6 gevorm word. Op hoeveel maniere kan dit gedoen word sodat die groep meer mans het.

Oplossing: Hier sluit die probleem verskillende kombinasies in soos 5 KIES 5, 5 KIES 4, 5 KIES 3 vir mans en vir vroue dit sluit in 4 KIES 1, 4 KIES 2 en 4 KIES 3 soos gegee in die volgende

1 vrou en 5 mans =4C1 X 5C5 ={4!/1!(4-1)!} X{5!/5!(5-5)!}=4

           2 vroue en 4 mans =4C2 X 5C4 = {4!/2!(4-2)!} X{5!/4!(5-4)!}=30

           3 vroue en 3 mans =4C3 X 5C3 = {4!/3!(4-3)!} X {5!/3!(5-3)!} =40

    Dus totale maniere = 4+30+40=74.

voorbeeld: Die aantal maniere waarop 12 seuns in drie motors kan ry, sodat 4 seuns in elke motor, met die veronderstelling dat drie spesifieke seuns nie in dieselfde motor sal ry nie.

Oplossing: Laat eers drie spesifieke seuns weg, die oorblywende 9 seuns kan 3 in elke motor wees. Dit kan gedoen word in 9 KIES 3 ie 9C3 maniere,

Die drie spesifieke seuns kan op drie maniere een in elke motor geplaas word. Daarom is die totale aantal maniere =3X9C3.

={9!/3!(9-3)!}X3= 252

dus kan hulle op 252 maniere geplaas word.

voorbeeld: Op hoeveel maniere het 2 groen en 2 swart balle uit 'n sak gekom wat 7 groen en 8 swart balle bevat het?

Oplossing: Hier sak bevat 7 groen waarvan ons 2 moet kies so dit is 7 KIES 2 probleem en 8 swart balle daaruit moet ons 2 kies so dit is 8 KIES 2 probleem.

Vandaar die Vereiste getal = 7C2 X 8C2 = {7!/2!(7-2)!}X{8!/2!(8-2)!}=21X28=588

ons kan dus op 588 maniere 2 groen en 2 swart uit daardie sak kies.

voorbeeld: Twaalf verskillende karakters van Engelse woorde word verskaf. Uit hierdie letters word 2 alfabetiese name gevorm. Hoeveel woorde kan geskep word wanneer ten minste een letter herhaal word.

Oplossing: hier moet ons 2 letter woorde kies uit 12 letters so dit is 12 KIES 2 probleem.

Aantal woorde van 2 letters waarin letters enige kere herhaal is = 122

        Maar nee. van woorde op twee verskillende letters uit 12 =12C2 = {12!/2!(12-2)!} =66

        Vereiste aantal woorde = 122-66=144-66=78.

voorbeeld: Daar is 12 punte op die vlak waar ses kollineêr is, hoeveel lyne kan dan getrek word deur hierdie punte te verbind.

Oplossing: Vir 12 punte in 'n vliegtuig om lyn te maak, benodig ons 2 punte dieselfde vir ses kollineêre punte, so dit is 12 KIES 2 en 6 KIES 2 probleem.

Die aantal lyne is = 12C2 - 6C2 +1={12!/2!(12-2)!}-{6!/2!(6-2)!}+1 =66-15+1=52

So in 52 aantal maniere kan dit lyne getrek word.

voorbeeld: Vind die getal maniere waarop 'n 6-lid-kabinet van 8 here en 4 dames opgestel kan word sodat die kabinet uit ten minste 3 dames bestaan.

Oplossing: Vir die vorming van die komitee kan ons kies uit 3 elk mans en vroue en 2 mans 4 vroue so die probleem sluit in 8 KIES 3, 4 KIES 3, 8 KIES 2 en 4 KIES 4.

Twee tipes kabinette kan gevorm word

        (i) Met 3 mans en 3 dames

        (ii) Met 2 mans en 4 dames

        Moontlike nr. van maniere = (8C3 X 4C3) + (8C2 X4C4)= {8!/3!(8-3)!}X{4!/3!(4-3)!} +{8!/2!(8-2)!}X{4!/4!(4-4)!} = 56X4+ 28X1 =252      

So Op 252 maniere kan ons so 'n kabinet vorm.

       Hierdie is 'n paar voorbeelde waar ons die situasie van kan vergelyk nPr vs nCr in die geval van permutasie is die manier waarop dinge georganiseer is belangrik. In kombinasie beteken die volgorde egter niks.

Gevolgtrekking

'n Kort beskrywing van Permutasie en kombinasie wanneer herhaal en nie-herhaal met die basiese formule en belangrike resultate word verskaf in die vorm van werklike voorbeelde, in hierdie reeks artikels sal ons die verskillende uitkomste en formules in detail bespreek met relevante voorbeelde, as jy wil voortgaan om te lees:

SCHAUM SE OORSIG VAN Teorie en Probleme van DISKRETE WISKUNDE

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

Vir meer artikel oor Wiskunde, volg asseblief hierdie Link

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek dra graag by tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings