Waarskynlikheidsmassafunksie: 5 voorbeelde


Diskrete ewekansige veranderlike en wiskundige verwagting-II

Soos reeds ons nou vertroud is met die diskrete willekeurige veranderlike, dit is die ewekansige veranderlike wat telbare aantal moontlike waardes in 'n ry neem. Die twee belangrike konsepte wat verband hou met die diskrete ewekansige veranderlikes is die waarskynlikheid van diskrete ewekansige veranderlike en verspreidingsfunksie ons beperk die naam tot sulke waarskynlikheid en verspreidingsfunksie soos,

Waarskynlikheidsmassafunksie (pmf)

                Die Waarskynlikheid Massa funksie is die waarskynlikheid van die diskrete ewekansige veranderlike, dus vir enige diskrete ewekansige veranderlikes  x1, x2, x3, x4,………, xk  die ooreenstemmende waarskynlikhede P(x1), P(x2), P(x3), P(x4)……, P(xk) is die ooreenstemmende waarskynlikheidsmassa-funksies.

Spesifiek, vir X=a, is P(a)=P(X=a) sy pmf

Ons hier verder gebruik waarskynlikheidsmassafunksie vir diskrete ewekansige veranderlikes waarskynlikheid. Al die waarskynlikheidskenmerke vir die waarskynlikheid sal natuurlik van toepassing wees op waarskynlikheidsmassafunksie soos positiwiteit en som van alle pmf sal een wees ens.

Kumulatiewe Verspreidingsfunksie (cdf)/Verspreidingsfunksie

  Die verspreidingsfunksie gedefinieer as

F(x)=P(X<=x)

vir diskrete ewekansige veranderlike met waarskynlikheid is massafunksie die kumulatiewe verspreidingsfunksie (cdf) van die ewekansige veranderlike.

en wiskundige verwagting vir so 'n ewekansige veranderlike ons het gedefinieer was

ons sien nou sommige van die resultate van wiskundige verwagtinge

  1. As x1, x2, x3, x4,….. is die diskrete ewekansige veranderlikes met onderskeie waarskynlikhede P(x1), P(x2), P(x3), P(x4) … die verwagting vir die werklike waarde funksie g sal wees

Voorbeeld: vir die volgende waarskynlikheidsmassafunksies vind die E(X3)

waarskynlikheid massa funksie

Hier is die g(X)=X3

So,

E (X3) = (-1)3 <em>0.2 + (0)3</em> 0.5 + (1)3 * 0.3

E (X3) = 0.1

Op dieselfde manier kan ons vir enige nde orde skryf

Wat bekend staan ​​as nth moment.

2. As a en b konstantes is dan

E[aX + b]=aE[X] + b

Dit kan ons maklik verstaan ​​as

=aE[X] + b

Variansie in terme van verwagting.

                Vir die gemiddelde aangedui deur μ sal die variansie van die diskrete ewekansige veranderlike X aangedui deur var(X) of σ in terme van verwagting wees

Var(X) =E[(X- μ)2]

en dit kan ons verder vereenvoudig as

Var(X) =E[(X- μ)2]

= E [X2] – 2μ2 + μ2

= E [X2] – μ2

dit beteken ons kan die variansie skryf as die verskil van die verwagting van ewekansige veranderlike kwadraat en kwadraat van verwagting van ewekansige veranderlike.

ie Var (X)= E[X2] – (E[X])2

voorbeeld:  wanneer 'n dobbelsteen gegooi word, bereken die variansie.

Oplossing:  hier weet ons wanneer die dobbelsteen gegooi word, sal die waarskynlikhede vir elke gesig wees

p(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6

dus vir die berekening van variansie sal ons verwagting van ewekansige veranderlike en sy kwadraat as vind

E[X]=1.(1/6)+2.(1/6)+3.(1/6)+4.(1/6)+5.(1/6)+6.(1/6)=(7/2)

E[X2] =12.(1/6)+22.(1/6)+32.(1/6)+42.(1/6)+52.(1/6)+62.(1/6) =(1/6)(91)

en ons het net die variansie as verkry

Var (X) =E[X2] – (E[X])2

so

Var (X)=(91/6) -(7/2)2 = 35 / 12

Een van die belangrike identiteit vir variansie is

  1. Vir die arbitrêre konstantes a en b het ons

Var(aX + b) =a2 Var(X)

Dit kan ons maklik wys as

Var(aX + b) =E[(aX+ b -aμ-b)2 ]

=E[a2(X – μ)2]

=a2 E[(X-μ)2]

=a2 Var(X)

Bernoulli Ewekansige veranderlike

      'n Switserse wiskundige James Bernoulli definieer die Bernoulli ewekansige veranderlike as 'n ewekansige veranderlike wat óf sukses óf mislukking het as slegs twee uitkomste vir die ewekansige eksperiment.

maw Wanneer die uitkoms sukses is X=1

Wanneer die uitkoms mislukking is X=0

Dus is die waarskynlikheidsmassafunksie vir die Bernoulli ewekansige veranderlike

p(0) = P{X=0}=1-p

p(1) =P{X=1}=p

waar p die waarskynlikheid van sukses is en 1-p die waarskynlikheid van mislukking sal wees.

Hier kan ons 1-p=q ook neem waar q die waarskynlikheid van mislukking is.

Aangesien hierdie tipe ewekansige veranderlike natuurlik diskreet is, is dit een van diskrete ewekansige veranderlikes.

voorbeeld: Gooi 'n muntstuk.

Binomiaal ewekansige veranderlike

As ons vir 'n ewekansige eksperiment wat slegs uitkoms as sukses of mislukking het, n proewe neem, so elke keer sal ons óf sukses óf mislukking kry, dan staan ​​die ewekansige veranderlike X wat die uitkoms vir so n proef ewekansige eksperiment verteenwoordig bekend as Binomiale ewekansige veranderlike.

                Met ander woorde as p die waarskynlikheidsmassafunksie vir die sukses in die enkele Bernoulli-proef is en q=1-p die waarskynlikheid vir die mislukking is, dan sal die waarskynlikheid dat gebeurtenis 'x of i' keer in n proewe plaasvind, wees

or

voorbeeld: As ons twee munte ses keer gooi en kop kry is sukses en oorblywende gebeurtenisse is mislukkings, dan sal die waarskynlikheid daarvan wees

op soortgelyke wyse kan ons vir enige so eksperiment bereken.

Die Binomiale ewekansige veranderlike het die naam binomiaal want dit verteenwoordig die uitbreiding van

As ons in die plek van n=1 plaas, sal dit verander in die Bernoulli se ewekansige veranderlike.

voorbeeld: As vyf munte gegooi word en die uitkoms word onafhanklik geneem, wat sou die waarskynlikheid wees dat die aantal koppe plaasgevind het.

Hier as ons ewekansige veranderlike X as die aantal koppe neem, sal dit na die binomiale ewekansige veranderlike verander met n=5 en waarskynlikheid van sukses as ½

So deur die waarskynlikheidsmassafunksie vir die binomiale ewekansige veranderlike te volg, sal ons kry

voorbeeld:

In 'n sekere maatskappy is die waarskynlikheid van gebrekkige 0.01 vanaf die produksie. Die maatskappy vervaardig en verkoop die produk in 'n pak van 10 en bied aan sy kliënte 'n geld-terugwaarborg dat hoogstens 1 van die 10 produk gebrekkig is, so watter deel van die verkoopte produktepak moet die maatskappy vervang.

Hier As X die ewekansige veranderlike is wat die gebrekkige produkte verteenwoordig, dan is dit van die binomiale tipe met n=10 en p=0.01 dan is die waarskynlikheid dat die pak sal terugkeer

voorbeeld: (chuck-a-luck/ fortuinwiel) In 'n spesifieke gelukspel in die hotel wed 'n speler op enige van die nommers van 1 tot 6, drie dobbelstene het dan gerol en as die getal verskyn, wed die speler een, twee of drie keer die speler wat baie eenhede beteken as een keer verskyn dan 1 eenheid as op twee dobbelstene dan 2 eenhede en as op drie dobbelstene dan 3 eenhede, kyk met behulp van waarskynlikheid die spel is regverdig vir die speler of nie.

As ons aanneem dat daar geen onregverdige middele sal wees met die dobbelsteen- en bedrogtegnieke nie, dan is die waarskynlikheid van sukses vir elke dobbelsteen 1/6 deur die uitkoms van die dobbelsteen onafhanklik te aanvaar en mislukking sal wees

 1-1/6 so dit word die voorbeeld van binomiale ewekansige veranderlike met n=3

so eers sal ons die wenwaarskynlikhede bereken deur x toe te ken as spelers wen

Nou om te bereken die spel is regverdig vir die speler of nie, ons sal die verwagting van die ewekansige veranderlike bereken

E[X] = -125+75+30+3/216

= -17/216

Dit beteken die waarskynlikheid dat die speler die wedstryd verloor wanneer hy 216 keer speel, is 17.

Gevolgtrekking:

   In hierdie artikel het ons 'n paar van die basiese eienskappe van 'n diskrete ewekansige veranderlike, waarskynlikheidsmassafunksie en variansie bespreek. Daarbenewens het ons 'n paar tipes van 'n diskrete ewekansige veranderlike gesien. Voordat ons die kontinue ewekansige veranderlike begin, probeer ons om al die tipes en eienskappe van diskrete ewekansige veranderlike te dek, as jy verdere lees wil hê, gaan dan deur:

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

Vir meer onderwerpe oor Wiskunde, volg asseblief hierdie skakel

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek dra graag by tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings