Hoofstres: 23 feite wat jy moet weet

Hoofstres-definisie:

Hoofspanning is die maksimum en minimum spanning wat afgelei word van normale spanning teen 'n hoek op 'n vlak waar skuifspanning nul is.

Hoe om hoofspanning te bereken?

Hoofspanningsvergelyking | Hoofstresformule:
Maksimum en Minimum hoofspanningsvergelykings:

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

Hoofstres afleiding | Bepaal die hoofvlakke en die hoofspannings

Normale spanning:

[latex]\sigma x'=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\frac{(\sigma x-\sigma y)(cos2\Theta )}{2}+\sigma xysin2\Theta[ /latex]

[latex]\sigma y'=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\frac{(\sigma x-\sigma y)(sin2\Theta )}{2}+\sigma xycos2\Theta[ /latex]

[latex]-\frac{(\sigma x-\sigma y)(cos2\Theta )}{2}+\sigma xysin2\Theta[/latex]

Onderskei,

[latex]\frac{dx'}{d\Theta }=0[/latex]

[latex]tan2\Theta =\frac{\sigma xy}{\frac{(\sigma x-\sigma y)}{2}}[/latex]

[latex]tan2\Theta_{p} =\frac{\sigma xy}{\frac{(\sigma x-\sigma y)}{2}}[/latex]

“p” verteenwoordig die hoofvlak.

Daar is twee hoofspannings,
een skuins [latex]2\Theta[/latex]
en ander by [latex]2\Theta+180[/latex]
Maksimum en Minimum hoofspanning:

R=[latex]\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{2}}[/latex]

[latex]cos2\Theta =\frac{\left ( \sigma x-\sigma y \right )}{2R}[/latex]

[latex]sin2\Theta =\frac{\sigma xy}{R}[/latex]

vervang in vergelyking 1:

[latex]\sigma x'=\frac{\left ( \sigma x+\sigma y \right )}{2}+\frac{1}{R}[\left ( \frac{\sigma x-\sigma y }{2} \right )^{2}+\sigma xy^{2}][/latex]

vervangingswaarde van R

Maksimum en minimum normaalspanning is die hoofspannings:

[latex]\sigma max=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

[latex]\sigma min=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

Die toestand van stres:

Die hoofspanning is die verwysing-koördinaat-asse na die voorstelling van die spanningsmatriks en hierdie spanningskomponente is die betekenis van die spanningstoestand kan voorgestel word as,

Stres tensor:

[latex]\tau ij=\begin{bmatrix}
\sigma 1 & 0 & 0 \
\0 & \sigma 2 & 0 \
\0 &0 &\sigma 3
\end{bmatrix}[/latex]

Hoofspannings van spanning tensor en spanning invariante |hoofstres invariante

Daar is drie hoofvlakke by enige gestremde liggaam, met normale vektore n, hoofrigtings genoem waar die spanningsvektor in dieselfde rigting as normale vektor n is met geen skuifspannings nie en hierdie komponente is afhanklik van die belyning van die koördinaatstelsel.


'n Spanningsvektor parallel aan die normale eenheidsvektor n word gespesifiseer as,

[latex]\tau ^{\left ( n \right )}=\lambda n=\sigma _{n}n[/latex]

waar,
\lambda verteenwoordig konstante van proporsionaliteit.

Die hoofspanningsvektore wat voorgestel word as,

[latex]\sigma ij nj=\lambda ni[/latex]

[latex]\sigma ij nj-\lambda nij=0[/latex]

Die grootte van drie hoofspannings gee drie lineêre vergelykings.
Die determinant van die koëffisiëntmatriks is gelyk aan nul en voorgestel as,

[latex]\begin{vmatrix}
\sigma ij-\lambda \delta ij
\end{vmatrix}=\begin{bmatrix}
\sigma 11-\lambda &\sigma 12 &\sigma 13 \
\\sigma 21 & \sigma 22-\lambda &\sigma 23 \
\\sigma 31 & \sigma 32 & \sigma 33-\lambda
\end{bmatrix}[/latex]

Hoofspannings is die vorm van normale spannings, en die spanningsvektor in die koördinaatstelsel word soos volg in die matriksvorm voorgestel:

[latex]\sigma ij=\begin{bmatrix}
\sigma 1 & 0 & 0\
\0 & \sigma 2 & 0\
\0 &0 &\sigma 3
\end{bmatrix}[/latex]

I1, I2, I3 is die spanningsinvariante van die hoofspannings,
Die spanningsinvariante is afhanklik van die hoofspannings en word soos volg bereken,

[latex]I1=\sigma 1+\sigma 2+\sigma 3[/latex]

[latex]I2=\sigma 1\sigma 2+\sigma 2\sigma 3+\sigma 3\sigma 1[/latex]

[latex]I3=\sigma 1.\sigma 2.\sigma 3[/latex]

Die hoofbeklemtoningsvergelyking vir spanningsinvariante:

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

Vernaamste stresbane | Hoofrigtings van stres

Spanningstrajekte toon die hoofspanningsrigtings en hul wisselende grootte van die hoofspannings.

Von mises stres vs hoofstres

Von mises hoofspanningsvergelyking

Von Mises is die teoretiese maatstaf van die spanningsopbrengsmislukkingskriterium in rekbare materiale.
Die positiewe of negatiewe teken hang af van die hoofspannings.
Hoof beklemtoon Grensvoorwaardes:

[latex]\sigma 12=\sigma 23=\sigma 31=0[/latex]

Teorieë van mislukking gee die vloeispannings van die komponente wat aan multi-assige belading onderwerp is. Verder, wanneer dit vergelyk word met die opbrengspunt van die komponente, toon die marge van die veiligheid van die komponent.

Maksimum hoofspanning word oorweeg vir bros elemente soos gietkomponente (bv. koppelaarbehuising, ratkas, ens.)
Von-mises stresteorie is gebaseer op skuifspanning energieteorie word voorgestel vir rekbare materiale soos aluminium, staalkomponente.

Waarom word von mises-spanning aanbeveel vir rekbare en hoofspanning vir bros materiale?


Mislukking van bros materiaal wat gebruik word om een-assige toets te doen, is langs 'n vlak vertikaal na die as van laai. Dus, die mislukking is as gevolg van normale stres oor die algemeen. Uit alle teorieë van mislukking is die hoofstresteorie gebaseer op normale stres. Daarom word die hoofspanningsteorie vir bros materiale aanbeveel,

Vervormbare materiale misluk by 45 grade skuins by die vlak van laai. Dus, die mislukking is as gevolg van skuifspanning. Uit alle teorieë van mislukking is skuifkrag-energie of von-mises-teorie en maksimum skuifspanningsteorie gebaseer op skuifspanning. Ter vergelyking gee von mises beter resultate. Daarom word von mises-teorie vir rekbare materiale aanbeveel.

Verskillende tipes stres

Absolute hoofstres | Effektiewe hoofstres:

Die hoofspanning is gebaseer op maksimum spanning en minimum spanning. Dus, die omvang van die Stres is tussen die maksimum en minimum Stres, (stres reeks is beperk en minder) en kan lei tot hoër moegheid lewe. Dit is dus belangrik om die effektiewe hoofstres uit te vind wat die maksimum waarde uit die twee gee oor die gegewe tydperk.

Wat is die teorie van maksimum normale stres?

Dit verklaar dat bros mislukking plaasvind wanneer die maksimum hoofspanning die kompressie of die treksterkte van die materiaal oorskry. Veronderstel dat 'n veiligheidsfaktor n in die ontwerp in ag geneem word. Die veilige ontwerptoestande vereis dit.

Maksimum hoofspanningsvergelyking

[latex]-\frac{Suc}{n}<{\sigma 1,\sigma 2,\sigma 3}<\frac{Sut}{n}[/latex]

Waar σ1, σ2, σ3 drie hoofspannings, maksimum, minimum en intermediêre, in die drie rigtings is, is Sut en Suc onderskeidelik die uiteindelike treksterkte en die uiteindelike druksterkte.

Om bros mislukking te vermy, moet die hoofspannings op enige punt in 'n struktuur binne die vierkantige mislukkingsomhulsel lê, gebaseer op die maksimum normale spanningsteorie.


Maksimum hoofstres teorie |Maksimum hoofstresdefinisie

oorweeg tweedimensionele spanningstoestand en die ooreenstemmende hoofspannings soos σ1 >σ2 >σ3
Waar σ3=0, kan σ2 saamdruk of trek wees, afhangende van die lastoestande waar σ2 minder of groter as σ3 kan wees.

Volgens maksimum hoofspanningsteorie sal mislukking plaasvind wanneer
σ1 of σ2 =σy of σt
Die toestande word grafies voorgestel met koördinate σ1,σ2. As die toestand van Spanning met koördinate (σ1,σ2 ) buite die reghoekige gebied val, sal mislukking plaasvind volgens die maksimum hoofspanningsteorie.

Mohr se sirkelhoof beklemtoon

Verduidelik die Mohr se sirkels vir die driedimensionele toestand van stres:

  • Beskou 'n vlak met 'n verwysingspunt as P. Sigma word voorgestel as normale Spanning en tau deur die skuifspanning op dieselfde vlak.
  • Neem 'n ander vlak met verwysingspunt Q wat sigma en tau as normale spanning en skuifspanning onderskeidelik verteenwoordig. Verskillende vlakke gaan deur punt p, verskillende waardes van hoof- en skuifspanning.
  • Vir elke vlak n kan 'n punt Q met koördinate as skuifspanning en hoofspanning gelokaliseer word.
  • Bepaal die normaal- en skuifspannings vir punt Q in alle moontlike rigtings van n.
  • Verkry drie hoofspannings as maksimum hoofspanning, minimum hoofspanning en intermediêre hoofspanning en verteenwoordig hulle in stygende volgorde van die waardes van die spannings.
  • Teken drie sirkels met deursnee as die verskil tussen die hoofspannings.
moh se kring: hoofstres
Image krediet:SanpazMohr-kring, gemerk as publieke domein, meer besonderhede oor Wikimedia Commons
  • Die geskakeerde area is die Mohr se sirkelvlakgebied.
  • Die sirkels verteenwoordig die Mohr se sirkels.
  • (σ1-σ3) en die gepaardgaande normale spanning is (σ1+σ3)
  • Daar is drie normale spannings, so ook drie skuifspannings.
  • Die hoofskuifvlakke is die vlakke waar skuifspannings inwerk en hoofnormale spanning optree by 'n vlak waar skuifspanning '0' is en skuifspanningswerking op 'n vlak waar normale hoofspanning nul is. Die hoofskuifspanning werk teen 45° na die normale vlakke.


Die skuifspannings word aangedui deur [latex]\tau 1,\tau 2,\tau 3[/latex]
En die hoofspannings word aangedui deur [latex]\sigma 1,\sigma 2,\sigma 3[/latex]

Derde hoofstres

3rd hoofspanning is relatief tot die maksimum drukspanning as gevolg van die lastoestande.

3D hoofstres voorbeelde:

Vir driedimensionele gevalle het al drie vlakke nul skuifspannings, en hierdie vlakke is onderling loodreg, en normale spannings het maksimum en minimum spanningswaardes en dit is die normale spannings wat die hoof maksimum en minimale spanning verteenwoordig.

Hierdie hoofspannings word aangedui deur,
σ1, σ2, σ3.
voorbeeld:
3D Spanning in naaf-a 'n staalas word met krag in die naaf gepas.
3D Stres in masjien komponent.

Hoof afwykende stres:

Hoofdeviatoriese spanning word verkry deur die gemiddelde spanning van elke hoofspanning af te trek.

Intermediêre hoofstres:

Die hoofspanning, wat nie maksimum of minimum is nie, word intermediêre spanning genoem.

Hoofspanningshoek | Oriëntasie van hoofspanning: θP

Oriëntasie van die hoofspanning word bereken deur skuifspanning gelyk te stel aan nul in xy-rigting by die hoofvlak wat deur 'n hoek theta geroteer word. Los θ op om θP, die hoofspanningshoek, te kry.

Belangrike Gereelde Vrae (Gereelde Vrae):


Maksimum hoofspanningsteorie is van toepassing op watter materiaal?

Antwoord: Bros materiaal.

Wat is die 3 hoofspannings? | Wat is maksimum en minimum hoofspanning?

Maksimum hoofstres | Groot hoofspanning: Mees treksterkte (σ1)
Minimum hoofstres | Geringe hoofstres: Mees kompressief (σ3)
Intermediêre hoofstres (σ2)

Hoofstres vs normale stres:

Normale spanning is die krag wat op die liggaam toegepas word per eenheidsoppervlakte. Hoofspanning is die spanning wat toegepas word op die liggaam met geen skuifspanning hoofspanning. Spanning is in die vorm van normale Spanning wat maksimum en minimum spanning op die hoofvlak gee.

Hoofstres vs Buigstres:

Buigspanning is die spanning wat in die liggaam voorkom as gevolg van die toepassing van 'n groot hoeveelheid las wat die voorwerp laat buig.

Hoofspanning vs aksiale spanning:

Aksiale spanning en hoofspanning is die dele van normale spanning.

Wat is die betekenis van hoofstres?

Hoofstres toon die maksimum en minimum normale stres. Maksimum normale Spanning toon die komponent se vermoë om die maksimum hoeveelheid krag te onderhou.

Wat is die hoofspannings in 'n as met wringkrag toegepas?

Die skuifspanning as gevolg van wringkrag het maksimum grootte by die buitenste vesel. Die buigspanning is as gevolg van horisontale belastings (horisontale ratkragte, band- of kettingkragte) wat buigspannings veroorsaak wat maksimum is by die buitenste vesels.

Hoekom is skuifspanning nul op hoofvlak?

Die normale Spanning is maksimum of minimum, en skuifspanning is nul.

[latex]tan2\Theta _{\tau-max}=-(\frac{\sigma x-\sigma y}{2\tau xy})[/latex]

[latex]\tau max=\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{2}}[/latex]

wanneer skuifspanning = 0,

[latex]\tau max=\frac{\begin{vmatrix}
\sigma x-\sigma y
\end{vmatrix}}{2}[/latex]

Belangrike hoofstresprobleme:

1) 'n Reghoekige spanningsvektor met skuifspanning in XY-rigting van 60Mpa en normale trekspannings van 40Mpa. Hoe om hoofspannings te vind ?

Oplossing:
Gegee:[latex] \sigma x=\sigma y=40Mpa , \tau=60Mpa[/latex]
Hoofspannings word bereken as,

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ1=100Mpa

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ2=-20Mpa

2) Wat is die koördinate van die middelpunt van Mohr se sirkel vir 'n element wat onderworpe is aan twee onderling loodregte spannings, een treksterkte van grootte 80MPa en ander saampers met grootte 50MPa?

σx = 80 MPa,
σy = -50 MPa
Koördinate van middelpunt van Mohr se sirkel =[ ½( σx + σy),0]
= [(30/2),0]
= (15,0)

3) 'n Liggaam is aan twee onderling loodregte spannings van -4MPa en 20MPa onderskeidelik onderwerp. Bereken die skuifspanning op die skuifvlak.

σx+σy /2= -4+20/2 = 8Mpa
Radius= σ1-σ2/2 = 20-(-4)/2 = 12
waar σx,σy hoofspanning is
by suiwer skuifspanning,σn=0
skuifspanning= vierkantswortel12^2-8^2= 8.94Mpa.

4) Toepassing van hoofstres | Vind die hoofspannings vir die volgende gevalle.

i)σx=30 Mpa, σy=0, \tau=15Mpa.

oplossing:

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ1=36.21Mpa

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ2=-6.21Mpa
ii)σx=0,σy=80MMpa, \tau=60Mpa.

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ1=97Mpa

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ2=12.92Mpa


iii)\tau=10Mpa, σx=50Mpa,σy=50Mpa.

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}+\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ1=60Mpa

[latex]\sigma 1=\frac{\sigma x+\sigma y}{2}-\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{ 2}}[/latex]

σ2=40Mpa

5) Die maksimum hoofspanning word 100 MPa gegee, en die minimum hoofspanning is 50 MPa. Bereken die maksimum skuifspanning en die oriëntasie van die hoofvlak deur Mohr se sirkel te gebruik.

Gegee:
Maksimum hoofspanning = 100Mpa (kompressief)
Minimum hoofspanning = 50 Mpa (kompressief)
Oplossing:
Maksimum skuifspanning is die radius van die Mohr-sirkel, dan kan ons soos volg skryf.

R=[latex]\sqrt{(\frac{\sigma x-\sigma y}{2})^{2}+\tau xy^{2}}[/latex]

[latex]\tau maks=25Mpa[/latex]

2θ = 90, vanaf die maksimum hoofspanningsrigting.
Dus, die oriëntasie op daardie punt is θ = 45 vanaf die maksimum hoofspanning rigting.

Vir meer Meganiese Ingenieurswese-verwante artikel kliek hier

Laat 'n boodskap

Jou e-posadres sal nie gepubliseer word nie. Verpligte velde gemerk *

Scroll na bo