Permutasies en kombinasies: 3 belangrike feite om te onthou


  Nadat ons die definisies en basiese konsepte bespreek het, sal ons al die resultate en verbande van permutasie en kombinasie, afhangende van almal, sal ons meer vertroud raak met die konsep van permutasie en kombinasie deur verskillende voorbeelde op te los.

Punte om te onthou (Permutasie)

  1. Die aantal maniere om te bestel = nPr={n(n-1)(n-2)…..(n-r+1)((nr)!)}/(nr)!= n!/{(nr)!}
  2. Die aantal rangskikkings van n verskillende voorwerpe saamgeneem op 'n slag is = nPn =n!
  3. nP0 =n!/n!=1
  4. P=n. N-1PR-1
  5. 0! = 1
  6. 1/(-r)!=0 , (-r)!=∞ (r N)
  7. Die aantal maniere om r plekke te vul waar elke plek deur enige een van n voorwerpe gevul kan word, Die telling van permutasies = Die aantal maniere om r plekke te vul =(n)r   

voorbeeld: Hoeveel getalle tussen 999 en 10000 kan gegenereer word met behulp van getalle 0, 2, 3,6,7,8 waar die syfers nie gedupliseer moet word nie?

Oplossing: Die nommers tussen 999 en 10000 is almal van viersyfergetalle.

                   Die viersyfergetalle saamgestel deur syfers 0, 2, 3,6,7,8 is

permutasie
Permutasie: Voorbeeld

  Maar hier is ook daardie getalle betrokke wat by 0 begin. Ons kan dus die getalle neem wat met drie syfers gevorm word.

Met aanvanklike syfer 0, is die aantal maniere om hangende 3 plekke uit vyf syfers 2, 3,6,7,8 te rangskik 5P3 =5!/(5-3)!=2!*3*4*5/2!= 60

Dus die vereiste getalle = 360-60 = 300.

voorbeeld: Hoeveel boeke kan in 'n ry uiteengesit word sodat die twee genoemde boeke nie saam is nie?

Oplossing: Totale aantal bestellings van n verskillende boeke =n!.                                                                                                                

           As twee genoemde boeke altyd saam, dan aantal maniere =(n-1)!x2

voorbeeld: Hoeveel maniere is daar gedeel deur 10 balle tussen twee seuns, een kry twee en die ander agt.

Oplossing: A kry 2, B  gets 8;  10!/2!8!=45

                  A kry 8, B kry 2; 10!/(8!2!)=45

dit beteken 45+45=90 maniere waarop die bal verdeel sal word.

voorbeeld: Soek die nommer van rangskikking van die alfabette van die woord "CALCUTTA".

Oplossing: Vereiste aantal maniere =8!/(2!2!2!)=5040

voorbeeld: Twintig mense is na die partytjie genooi. Hoeveel verskillende maniere waarop hulle en die gasheer by 'n ronde tafel kan sit, as die twee mense weerskante van die wagter moet sit.

Oplossing: Daar sal altesaam 20 + 1 = 21 persone wees.

Die twee gespesifiseerde persone en die gasheer word as een eenheid beskou sodat dit 21 – 3 + 1 = 19 persone bly om in 18 gerangskik te word! maniere.

 Maar die twee spesifieke persone aan weerskante van die gasheer kan self in 2 gerangskik word! maniere.

  Daarom is daar 2! *18! maniere.

voorbeeld : Op hoeveel maniere kan 'n krans gemaak word van presies 10 blomme.

Oplossing:  n blomme se krans kan gemaak word in (n-1)! maniere.

Deur 10 blomme kranse te gebruik, kan dit op 9!/2 verskillende maniere voorberei word.

voorbeeld: Soek die spesifieke viersyfergetal wat gevorm moet word deur 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sodat elke getal die getal 1 het.

Oplossing: Nadat 1 eerste posisie uit 4 plekke behaal is, kan 3 plekke gevul word deur7P3 =7!/(7-3)!=5*6*7=210 ways.

Maar sommige getalle waarvan die vierde syfer nul is, so sulke tipe maniere =6P2=6!/(6-2)!=20.

                   Totale maniere = 7P3 - 6P2 =210-20=180

Hou hierdie punte in gedagte vir kombinasie

  • Die aantal kombinasies van n voorwerpe, waarvan p is identies, geneem r op 'n slag is

npCr+npCR-1+npCR-2+……..+npC0 , as r<=p en  npCr+npCR-1+npCR-2+…..+npCrp  , as r>p

  1. n kies 0 of n kies n is 1, nC0 = nCn = 1, nC1 =n.
  2. nCr + nCR-1 = N + 1Cr
  3. Cx = nCy <=> x=y of x+y=n
  4. n. N-1CR-1 =(n-r+1) nCR-1
  5. nC0+nC2+nC4+….=nC1+nC3+nC5…..=2N-1
  6. 2n + 1C0+2n + 1C1+2n + 1C2+……+2n + 1Cn=22n
  7. nCn+N + 1Cn+N + 2Cn+N + 3Cn+………..+2n-1Cn=2nCN + 1
  8. Aantal kombinasies van n verskillende dinge op 'n slag geneem. nCn=n!/{n!(nn)!}=1/(0)!=1

In voortsetting sal ons 'n paar voorbeelde oplos  

voorbeeld: If 15Cr=15Cr+5 , wat is dan die waarde van r?

Oplossing: Hier sal ons bogenoemde gebruik

 nCr=nCnr aan die linkerkant van die vergelyking

15Cr=15Cr+5 => 15C15-r =15Cr+5

=> 15-r=r+5 => 2r=10 => r=10/2=5

dus die waarde van r is 5 impliseer die probleem van 15 KIES 5.

voorbeeld: If 2nC3 : nC2 =44:3 vind die waarde van r, Sodat die waarde van nCr  sal 15 wees.

 Oplossing: Hier is die gegewe term die verhouding van 2n kies 3 en n kies 2 as

volgens die definisie van kombinasie

(2n)!/{(2n-3)!x3!} X {2!x(n-2)!}/n!=44/3

=> (2n)(2n-1)(2n-2)/{3n(n-1)}=44/3

=> 4(2n-1)=44 =>2n=12 => n=6

                   nou 6Cr=15 => 6Cr=6C2   or 6C4 => r=2, 4

so die probleem blyk te wees 6 kies 2 of 6 kies 4

voorbeeld:  If  nCR-1= 36 nCr=84 en nCr+1=126, wat sal dan die waarde van r wees?

 oplossing: hier nCR-1 / nCr =36/84 en nCr /nCr+1 =84/126 .

(n)!/{(n-r+1)!x(r-1)!} X {(r)!x(nr)!}/(n)!=36/84

r/(n-r+1)=3/7 => 7r=3n-3r+3

=> 3n-10r=-3, en insgelyks kry ons uit tweede rantsoen

4n-10r=6

Met die oplossing kry ons n=9, r=3

so die probleem blyk te wees 9 kies 3 , 9 kies 2 en 9 kies 4.

voorbeeld: Almal in die vertrek skud hande met almal. Die totale telling van handskud is 66. Vind die aantal mense in die kamer.

nC2 =66 => n!/{2!(n-2)!}=66 => n(n-1)=132 => n=12

Oplossing: dus die waarde van n is 12 impliseer die totale aantal mense in die kamer is 12 en die probleem is 12 kies 2.

voorbeeld: In 'n sokkertoernooi is 153 wedstryde gespeel. Al die spanne het een wedstryd gespeel. vind die aantal groepe wat by toernooi betrokke is.

Oplossing:

hier afgelaai word nC2 =153 => n!/{2!(n-2)} = 153 => n(n-1)/2=153 => n=18

dus was die totale aantal spanne wat aan die toernooi deelgeneem het 18 en die kombinasie is 18 kies 2 .

voorbeeld Tydens die Deepawali-seremonie stuur elke klublid groetekaartjies aan ander. As daar 20 lede in die klub is, wat sal die totale aantal maniere wees waarop groetekaartjies deur die lede uitgeruil word.

Oplossing: Aangesien twee lede kaarte mekaar op twee maniere kan omruil so daar is 20 kies 2 twee keer

2 x 20C2 =2 x (20!)/{2!(20-2)!}=2*190=380, daar sal 380 maniere wees om groetekaartjies uit te ruil.

voorbeeld: Ses plus '+' en vier minus '-' simbole moet in so 'n reguit lyn gerangskik word sodat geen twee '-' simbole ontmoet nie, vind die totale aantal maniere .

 Oplossing: Die bestelling kan gemaak word as -+-+-+-+-+-+- die (-) tekens kan op 7 vakante (puntige) plek geplaas word.

Vandaar vereiste aantal maniere = 7C4 = 35.

voorbeeld: If nC21 =nC6 , vind dan nC15 =?

Oplossing: gegewe nC21 =nC6

21+6=n => n=27

vandaar 27C15 =27!/{15!(27-15)!} =17383860

wat is die 27 kies 15.

Gevolgtrekking

Sommige voorbeelde word geneem, afhangende van die verbande en resultate, as aantal voorbeelde wat ons op elkeen van die resultate kan neem, maar die belangrike ding hier wat ek wil wys, was hoe ons enige resultaat kan gebruik afhangende van die situasie as jy verdere lees benodig gaan deur die inhoud of as enige persoonlike hulp dan kan jy vry om ons te kontak van die verwante inhoud wat jy kan vind van:

Vir meer onderwerpe oor Wiskunde, kyk asseblief hierna skakel.

SCHAUM SE OORSIG VAN Teorie en Probleme van DISKRETE WISKUNDE

https://en.wikipedia.org/wiki/Permutation

https://en.wikipedia.org/wiki/Combination

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek dra graag by tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings