Normale ewekansige veranderlike: 3 belangrike feite


Normaal Ewekansige veranderlike en Normaalverspreiding

      Die ewekansige veranderlike met ontelbare stel waardes is bekend om kontinue ewekansige veranderlike te wees, en die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie met behulp van integrasie aangesien oppervlakte onder die kromme die kontinue verspreiding gee, Nou sal ons fokus op een van die mees gebruikte en gereelde kontinue ewekansige veranderlikes nl normale ewekansige veranderlike wat 'n ander naam het as Gaussiese ewekansige veranderlike of Gaussiese verspreiding.

Normale ewekansige veranderlike

      Normale ewekansige veranderlike is die kontinue ewekansige veranderlike met waarskynlikheidsdigtheidsfunksie

gemeen het μ en variansie σ2 as die statistiese parameters en meetkundig het die waarskynlikheidsdigtheidfunksie die klokvormige kromme wat simmetries is oor die gemiddelde μ.

Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike

Ons weet dat waarskynlikheidsdigtheidsfunksie die totale waarskynlikheid as een so het

deur y= (x-μ)/σ te plaas

hierdie dubbele integrasie kan opgelos word deur dit in polêre vorm om te skakel

wat die vereiste waarde is, sodat dit geverifieer word vir die integraal I.

  • As X normaalverdeel is met parameter μ  en σ2 dan is Y=aX+b ook normaalverdeel met die parameters aμ+b en a2μ2

Verwagting en Variansie van Normale Ewekansige veranderlike

Die verwagte waarde van die normale ewekansige veranderlike en die variansie wat ons met behulp van sal kry

waar X normaalverdeel is met die parameters gemiddeld μ en standaardafwyking σ.

aangesien gemiddeld van Z nul is, het ons dus die variansie as

deur integrasie deur dele te gebruik

vir die veranderlike Z is die grafiese interpretasie soos volg

Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike

en die oppervlakte onder die kromme vir hierdie veranderlike Z wat bekend staan ​​as standaard normale veranderlike, dit word bereken vir die verwysing (gegewe in die tabel), aangesien die kromme simmetries is, dus vir negatiewe waarde sal die area dieselfde wees as dié van positiewe waardes

z0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.09
0.00.500000.503990.507980.511970.515950.519940.523920.527900.531880.53586
0.10.539830.543800.547760.551720.555670.559620.563560.567490.571420.57535
0.20.579260.583170.587060.590950.594830.598710.602570.606420.610260.61409
0.30.617910.621720.625520.629300.633070.636830.640580.644310.648030.65173
0.40.655420.659100.662760.666400.670030.673640.677240.680820.684390.68793
0.50.691460.694970.698470.701940.705400.708840.712260.715660.719040.72240
0.60.725750.729070.732370.735650.738910.742150.745370.748570.751750.75490
0.70.758040.761150.764240.767300.770350.773370.776370.779350.782300.78524
0.80.788140.791030.793890.796730.799550.802340.805110.807850.810570.81327
0.90.815940.818590.821210.823810.826390.828940.831470.833980.836460.83891
1.00.841340.843750.846140.848490.850830.853140.855430.857690.859930.86214
1.10.864330.866500.868640.870760.872860.874930.876980.879000.881000.88298
1.20.884930.886860.888770.890650.892510.894350.896170.897960.899730.90147
1.30.903200.904900.906580.908240.909880.911490.913080.914660.916210.91774
1.40.919240.920730.922200.923640.925070.926470.927850.929220.930560.93189
1.50.933190.934480.935740.936990.938220.939430.940620.941790.942950.94408
1.60.945200.946300.947380.948450.949500.950530.951540.952540.953520.95449
1.70.955430.956370.957280.958180.959070.959940.960800.961640.962460.96327
1.80.964070.964850.965620.966380.967120.967840.968560.969260.969950.97062
1.90.971280.971930.972570.973200.973810.974410.975000.975580.976150.97670
2.00.977250.977780.978310.978820.979320.979820.980300.980770.981240.98169
2.10.982140.982570.983000.983410.983820.984220.984610.985000.985370.98574
2.20.986100.986450.986790.987130.987450.987780.988090.988400.988700.98899
2.30.989280.989560.989830.990100.990360.990610.990860.991110.991340.99158
2.40.991800.992020.992240.992450.992660.992860.993050.993240.993430.99361
2.50.993790.993960.994130.994300.994460.994610.994770.994920.995060.99520
2.60.995340.995470.995600.995730.995850.995980.996090.996210.996320.99643
2.70.996530.996640.996740.996830.996930.997020.997110.997200.997280.99736
2.80.997440.997520.997600.997670.997740.997810.997880.997950.998010.99807
2.90.998130.998190.998250.998310.998360.998410.998460.998510.998560.99861
3.00.998650.998690.998740.998780.998820.998860.998890.998930.998960.99900
3.10.999030.999060.999100.999130.999160.999180.999210.999240.999260.99929
3.20.999310.999340.999360.999380.999400.999420.999440.999460.999480.99950
3.30.999520.999530.999550.999570.999580.999600.999610.999620.999640.99965
3.40.999660.999680.999690.999700.999710.999720.999730.999740.999750.99976
3.50.999770.999780.999780.999790.999800.999810.999810.999820.999830.99983

aangesien ons die vervanging gebruik het

Hier hou in gedagte dat Z is standaard normale variate waar as kontinue ewekansige veranderlike X is normaalverdeel normale ewekansige veranderlike met gemiddelde μ en standaardafwyking σ.

So om die verspreidingsfunksie vir die ewekansige veranderlike te vind, sal ons die omskakeling na die standaard normale variasie as gebruik

vir enige waarde van a.

voorbeeld: In die standaard normaalkromme vind die area tussen die punte 0 en 1.2.

As ons die tabel volg, is die waarde van 1.2 onder die kolom 0 0.88493 en waarde van 0 is 0.5000,

Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike

voorbeeld: vind die area vir die standaard normale kromme binne -0.46 tot 2.21.

Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike

Van die geskakeerde gebied kan ons hierdie gebied van -0.46 tot 0 en 0 tot 2.21 verdeel, want die normale kromme is simmetries om die y-as, dus is die area van -0.46 tot 0 dieselfde as die area van 0 tot 0.46 dus vanaf die tabel

en

sodat ons dit kan skryf as

Totale Oppervlakte =(oppervlakte tussen z = -0.46 en z=0 ) + (oppervlakte tussen z =0 en z=2.21)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

voorbeeld: As X normale ewekansige veranderlike is met gemiddeld 3 en variansie 9, vind dan die volgende waarskynlikhede

P2

P{X>0}

P|X-3|>6

Oplossing: aangesien ons het

Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike

so as ons in die intervalle -1/3 tot 0 en 0 tot 2/3 verdeel, sal ons die oplossing uit die tabelwaardes kry

or

=0.74537 -1 + 0.62930 =0.37467

en

Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike
Normaal Ewekansige veranderlike

voorbeeld: 'n Waarnemer in vaderskapsaak verklaar dat die lengte (in dae) van menslike groei

word normaalweg versprei met parameters gemiddeld 270 en variansie 100. In hierdie geval het die verdagte wat pa van die kind is die bewys gelewer dat hy uit die land was gedurende 'n tydperk wat 290 dae voor die geboorte van die kind begin het en 240 dae vroeër geëindig het die geboorte. Vind die waarskynlikheid dat die moeder die baie lang of baie kort swangerskap kon gehad het wat deur die getuie aangedui is?

Laat X die normaalverspreide ewekansige veranderlike vir swangerskap aandui en beskou die verdagte is die vader van die kind. In daardie geval het die geboorte van die kind binne die gespesifiseerde tyd plaasgevind het die waarskynlikheid

Verwantskap tussen Normale ewekansige veranderlike en Binomiale ewekansige veranderlike

      In die geval van binomiale verspreiding is die gemiddeld np en die variansie is npq, dus as ons so 'n binomiale ewekansige veranderlike omskakel met so 'n gemiddelde en standaardafwyking met n baie groot en p of q is baie klein en gaan nader aan nul dan standaard normale veranderlike Z met die hulp van hierdie gemiddelde en variansie is

hier in terme van Bernouli-proewe X beskou die aantal suksesse in n proewe. Soos n toeneem en nader aan oneindig gaan, gaan hierdie normale variasie op dieselfde manier om standaard normale variasie te word.

Die verhouding van binomiaal- en standaardnormaalvariasie kan ons vind met behulp van die volgende stelling.

DeMoivre Laplace limietstelling

If Sn dui die aantal suksesse aan wat plaasvind wanneer n  onafhanklike proewe, wat elk 'n sukses met waarskynlikheid tot gevolg het bl , uitgevoer word, dan, vir enige a < b ,

voorbeeld: Met behulp van normale benadering tot die binomiale ewekansige veranderlike vind die waarskynlikheid van voorkoms van 20 keer stert wanneer 'n billike muntstuk 40 keer gegooi word.

Oplossing: Gestel die ewekansige veranderlike X verteenwoordig die voorkoms van stert, aangesien die binomiale ewekansige veranderlike diskrete ewekansige veranderlike is en normale ewekansige veranderlike kontinue ewekansige veranderlike is, dus om die diskrete in die kontinue om te skakel, skryf ons dit as

en as ons die gegewe voorbeeld oplos met behulp van binomiale verspreiding sal ons dit kry as

voorbeeld: Om die doeltreffendheid van 'n definitiewe voeding in die vermindering van die omvang van cholesterol in die bloedsomloop te bepaal, word 100 mense op die voeding geplaas. Die cholesteroltelling is waargeneem vir die gedefinieerde tyd nadat die voeding verskaf is. As 65 persent van hierdie monster 'n lae cholesteroltelling het, sal voeding goedgekeur word. Wat is die waarskynlikheid dat die voedingkundige die nuwe voeding goedkeur as dit eintlik geen gevolge op die cholesterolvlak het nie?

oplossing:  Laat die ewekansige veranderlike die cholesterolvlak uitdruk as af met die voeding, sodat die waarskynlikheid vir so 'n ewekansige veranderlike ½ vir elke persoon sal wees, as X die lae vlak aantal mense aandui, dan is die waarskynlikheid dat die resultaat goedgekeur is, selfs daar is geen effek van voeding op verminder die vlak van cholesterol is



Gevolgtrekking:

   In hierdie artikel is die konsep van kontinue ewekansige veranderlike naamlik normaal ewekansige veranderlike en die verspreiding daarvan met waarskynlikheidsdigtheidsfunksie is bespreek en die statistiese parameter gemiddelde, variansie vir die normale ewekansige veranderlike word gegee. Die omskakeling van normaalverspreide ewekansige veranderlike na die nuwe standaard normale variaat en oppervlakte onder die kromme vir so standaard normale variasie word in tabelvorm een ​​van die verband met diskrete ewekansige veranderlike word ook met voorbeeld genoem , as jy verder wil lees gaan dan deur:

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Vir meer onderwerpe oor wiskunde kyk asseblief hierdie bladsy.

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ek het my Ph.D. in Wiskunde en werk as 'n Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek hou daarvan om by te dra tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings