2D-koördinaatmeetkunde: 11 belangrike feite


Lokus in 2D-koördinaatmeetkunde

Locus is 'n Latynse woord. Dit is afgelei van die woord 'Plek' of 'Ligging'. Die Meervoud van lokus is Loci.

Definisie van lokus:

In Meetkunde is 'Locus' 'n stel punte wat aan een of meer gespesifiseerde voorwaardes van 'n figuur of vorm voldoen. In moderne wiskunde word die ligging of die pad waarop 'n punt beweeg op die vlak wat aan gegewe meetkundige voorwaardes voldoen, lokus van die punt genoem.

Lokus word gedefinieer vir lyn, lynsegment en die gereelde of onreëlmatige geboë vorms, behalwe die vorms wat hoekpunt of hoeke binne hulle het in Meetkunde. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Voorbeelde op Locus:

lyne, sirkels, ellips, parabool, hiperbool, ens. al hierdie geometriese vorms word gedefinieer deur die lokus van punte.

Lokusvergelyking:

Die algebraïese vorm van die meetkundige eienskappe of voorwaardes wat deur die koördinate van al die punte op Lokus bevredig word, staan ​​bekend as die vergelyking van die lokus van daardie punte.

Metode om die lokusvergelyking te verkry:

Om die vergelyking van die lokus van 'n bewegende punt op 'n vlak te vind, volg die proses wat hieronder beskryf word

(i) Aanvaar eers die koördinate van 'n bewegende punt op 'n vlak wees (h,k).

(ii) Tweedens, lei 'n algebraïese vergelyking met h en k af van die gegewe meetkundige toestande of eienskappe.

(iii) Derdens, vervang h en k met x en y onderskeidelik in die bogenoemde vergelyking. Nou word hierdie vergelyking die vergelyking van die lokus van die bewegende punt op die vlak genoem. (x,y) is die huidige koördinate van die bewegende punt en die vergelyking van die lokus moet altyd in die vorm van x en y afgelei word, dws huidige koördinate.

Hier is 'n paar voorbeelde om die opvatting oor lokus duidelik te maak.

4+ verskillende tipes opgelosde probleme op Locus:

Probleem 1: If P enige punt op die XY-vlak wees wat ewe ver van twee gegewe punte is A (3,2) en B(2,-1) op dieselfde vlak, vind dan die lokus en die lokusvergelyking van die punt P met grafiek.

Oplossing: 

lokus
Grafiese voorstelling

Aanvaar dat die koördinate van enige punt op die lokus van P op XY-vlak is (h, k).

Aangesien P ewe ver van A en B is, kan ons skryf

Die afstand van P vanaf A=Die afstand van P vanaf B

Or, |PA|=|PB|

Of, (h2 -6h+9+k2 -4k+4) = (u2 -4h+4+k2 +2k+1)——– neem vierkant na beide kante.

Of, h2 -6h+13+k2 -4k -h2+4h-5-k2 -2k = 0

Of, -2h -6k+8 = 0

Of, h+3k -4 = 0

Of, h+3k = 4 ——– (1)

Dit is 'n eerstegraadsvergelyking van h en k.

Nou as h en k deur x en y vervang word, word die vergelyking (1) die eerstegraadsvergelyking van x en y in die vorm van x + 3y = 4 wat 'n reguit lyn verteenwoordig.

Daarom is die lokus van die punt P(h, k) op XY-vlak 'n reguit lyn en die vergelyking van die lokus is x + 3y = 4 . (Antw.)


Probleem 2: As 'n punt R beweeg op die XY-vlak op so 'n manier dat RA : RB = 3:2 waar die koördinate van die punte A en B is (5,3) en (2,4) onderskeidelik op dieselfde vlak, vind dan die lokus van die punt R.

Watter tipe kromme dui die vergelyking van die lokus van R aan?

Oplossing: Kom ons neem aan dat die koördinate van enige punt op die lokus van gegewe punt R op XY-vlak wees (m, n).

Asper gegewe toestand RA : RB = 3:2,

ons het,

(Die afstand van R vanaf A) / (Die afstand van R vanaf B) = 3/2

Of, (m2 +10m+34+n2 -6n) / (m2 -4m+n2 -8n+20) =9/4 ———– neem vierkant na beide kante.

Of, 4 (m2 +10m+34+n2 -6n) = 9(m2 -4m+n2 -8n+20)

of, 4m2 +40m+136+4n2 -24n = 9m2 -36m+9n2 -72n+180)

of, 4m2 +40m+136+4n2 -24n – 9m2 +36m-9n2 +72n-180 = 0

Of, -5m2 +76m-5n2+48n-44 = 0

Of, 5 (m2+n2)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

Dit is 'n tweedegraadsvergelyking van m en n .

As m en n nou deur x en y vervang word, word die vergelyking (1) die tweedegraadsvergelyking van x en y in die vorm van 5(x)2+y2)-76x+48y+44 = 0 waar die koëffisiënte van x2 en y2 is dieselfde en die koëffisiënt van xy is nul. Hierdie vergelyking verteenwoordig 'n sirkel.

Daarom is die lokus van die punt R(m, n) op XY-vlak 'n sirkel en die vergelyking van die lokus is

5 (x2+y2)-76x+48j+44 = 0 (Antw.)


Probleem 3: For all values of (θ,aCosθ,bSinθ) are the coordinates a point P which moves on the XY plane. Find the equation of locus of P.

Oplossing: laat (h, k) die koördinate wees van enige punt wat op die lokus van P op XY-vlak lê.

Asper dan die vraag, kan ons sê

h= a Cosθ

Or, h/a = Cosθ —————(1)

And k = b Sinθ

Or, k/b = Sinθ —————(2)

Neem nou kwadraat van beide die vergelykings (1) en (2) en tel dan by, ons het die vergelyking

h2/a2 +k2/b2 = Cos2θ + Sin2θ

Of, h2/a2 +k2/b2 = 1 (Aangesien Cos2θ + Sin2θ =1 in trigonometry)

Daarom is die lokusvergelyking van die punt P x2/a2 + en2/b2 = 1. (Antw.)


Probleem 4: Vind die vergelyking van lokus van 'n punt Q, wat op die XY-vlak beweeg, as die koördinate van Q is

where u is the variable parameter.

oplossing: Laat die koördinate van enige punt op die lokus van gegewe punt Q terwyl jy op XY-vlak beweeg, wees (h, k).

Dan, h = en k =

dws h(3u+2) = 7u-2 en k(u-1) = 4u+5

dws (3h-7)u = -2h-2 en (k-4)u = 5+k

dws u = —————(1)

en u = —————(2)

As ons nou die vergelykings (1) en (2) vergelyk, kry ons,

Of, (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Of, -2hk+8h-2k+8 = 15h+3hk-35-7k

Of, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Of, -5hk-7h+5k = -43

Of, 5hk+7h-5k = 43

Daarom is die vergelyking van die lokus van Q 5xy+7x-5y = 43.


Meer voorbeelde op Locus met antwoorde vir jou eie oefening:

Probleme 5: If θ be a variables and u be a constant, then find the equation of locus of the point of intersection of the two straight lines x Cosθ + y Sinθ = u and x Sinθ- y Cosθ = u. (Antw. x2+y2 = 2u2 )

Probleme 6: Find the equation of locus of the middle point of the line segment of the straight line x Sinθ + y Cosθ = t between the axes. (Antw. 1/x2+ 1 /y2 =4/t2 )

Probleme 7: As 'n punt P so op die XY-vlak beweeg dat die oppervlakte van die driehoek gemaak word deur die punt met twee punte (2,-1) en (3,4). (Antw. 5x-y=11)


Basiese voorbeelde oor die formules "Sentroid of a Triangle"  in 2D-koördinaatmeetkunde

Centroid: Die drie mediane van 'n driehoek sny altyd by 'n punt wat in die binnekant van die driehoek geleë is en verdeel die mediaan teen die verhouding 2:1 van enige hoekpunt na die middelpunt van die teenoorgestelde sy. Hierdie punt word die middelpunt van die driehoek genoem.   

Probleme 1: Vind die middelpunt van die driehoek met hoekpunte (-1,0), (0,4) en (5,0).

Oplossing:  Ons weet reeds,

                                             If  A(x1,y1), B(x2,y2) en C(x3,y3) wees die hoekpunte van 'n Driehoek en G(x, y) die middelpunt wees van die driehoek, dan Koördinate van G is

en

Deur hierdie formule te gebruik wat ons het, 

(x1,y1) ≌(-1,0) dws x1= -1, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,4) dws   x2= 0, y2=4 en

(x3,y3) ≌(5,0) dws   x3= 5, y3=0

(Sien formule grafiek)

Grafiese voorstelling

Dus, die x-koördinaat van die sentroïed G,   

dws

i.e. x=4/3

                  en 

die y-koördinaat van die sentroïed G,  

dws

i.e y=4/3

Daarom is die koördinate van die middelpunt van die gegewe driehoek . (Antw.)

Meer beantwoorde probleme word hieronder gegee vir verdere oefening deur die prosedure wat in probleem 1 hierbo beskryf word:-

Probleme 2: Vind die koördinate van die middelpunt van die driehoek met hoekpunte by die punte (-3,-1), (-1,3)) en (1,1).

Ans. (1,1)

Probleme 3: Wat is die x-koördinaat van die middelpunt van die driehoek met hoekpunte (5,2), (10,4) en (6,-1)?

Ans.

Probleme 4: Drie hoekpunte van 'n driehoek is (5,9), (2,15) en (11,12). Vind die middelpunt van hierdie driehoek.

Ans. (6,12)


Verskuiwing van oorsprong / Vertaling van asse- 2D-koördinaatmeetkunde

Verskuiwing van Oorsprong beteken om die Oorsprong na 'n nuwe punt te verskuif en die oriëntasie van die asse onveranderd te hou, dws die nuwe asse bly parallel aan die oorspronklike asse in dieselfde vlak. Deur hierdie translasie van asse of verskuiwing van oorsprong proses word baie probleme oor algebraïese vergelyking van 'n meetkundige vorm vereenvoudig en maklik opgelos.

Die formule van "verskuiwing van oorsprong" of "vertaling van asse" word hieronder beskryf met grafiese voorstelling.

Formule:

As O die oorsprong is, is P(x,y) enige punt in die XY-vlak en O word verskuif na 'n ander punt O'(a,b) waarteen die koördinate van die punt P (x) word1,y1) in dieselfde vlak met nuwe asse X1Y1  ,Dan is Nuwe Koördinate van P

x1 = x- a

y1 = y- b

Grafiese voorstelling ter verduideliking: Volg die grafieke

Min opgelos Probleme met die formule van 'Verskuiwing van oorsprong':

Probleem-1: As daar twee punte (3,1) en (5,4) in dieselfde vlak is en die oorsprong word verskuif na die punt (3,1) en hou die nuwe asse parallel met die oorspronklike asse, vind dan die koördinate van die punt (5,4) ten opsigte van die nuwe oorsprong en asse.

Oplossing: In vergelyking met die formule van 'Verskuiwing van Oorsprong' hierbo beskryf, het ons nuwe Oorsprong, O′(a, b) ≌ (3,1) dws a=3 , b=1 en die vereiste punt P, (x, y) ≌ (5,4) maw x=5, y=4

Nou as (x1,y1) wees die nuwe koördinate van die punt P(5,4), dan asper formule x1 = xa en y1 =yb,

ons kry, x1 = 5-3 en j1 = 4-1

dws x1 = 2 en y1 =3

Daarom is die vereiste nuwe koördinate van die punt (5,4) (2,3) . (Antw.)

Probleem-2: Nadat die Oorsprong na 'n punt in dieselfde vlak verskuif is, terwyl die asse parallel aan mekaar gebly het, word die koördinate van 'n punt (5,-4) (4,-5). Vind die Koördinate van nuwe Oorsprong.

Oplossing: Hier deur die formule van 'Verskuiwing van die oorsprong' of 'Translasie van asse' te gebruik, kan ons sê die koördinate van die punt P met betrekking tot ou en nuwe Oorsprong en asse onderskeidelik is (x, y) ≌ (5,-4) dws x=5, y= -4 en (x1,y1) ≌ (4,-5) dws  x1= 4, j1= -5

Nou moet ons die koördinate van die nuwe Oorsprong vind O′(a, b) dws a=?, b=?

Asper formule,

x1 = x- a

y1 = j- b

dws a=xx1 en b=jj1

Of, a=5-4 en b= -4-(-5)

Of, a=1 en b= -4+5

Of, a=1 en b= 1

Daarom is O'(1,1) die nuwe Oorsprong, dws die koördinate van die nuwe Oorsprong is (1,1). (Antw.)

Basiese voorbeelde op die formules "Kolineariteit van punte (drie punte)" in 2D-koördinaatmeetkunde

Probleme 1:  Kontroleer of die punte (1,0), (0,0) en (-1,0) kollineêr is of nie.

Oplossing:  Ons weet reeds,

                                            If  A(x1,y1), B(x2,y2) en C(x3,y3) enige drie kollineêre punte wees, dan moet die oppervlakte van die driehoek wat daardeur gemaak word nul wees, dws die oppervlakte van die driehoek is ½[x1 (y2– y3) + x2 (y3– y1) + x3 (y1-y2)] =0

(Sien formule grafiek)

Deur hierdie formule te gebruik wat ons het,

(x1,y1) ≌(-1,0) dws   x1= -1, y1= 0 ;

(x2,y2) ≌(0,0) dws   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌(1,0) dws    x3= 1, y3= 0

Grafiese voorstelling

Dus, die oppervlakte van die driehoek is = |½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)]| dws.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (RHS)

Daarom word die oppervlakte van die driehoek wat deur daardie gegewe punte gemaak word nul, wat beteken dat hulle op dieselfde lyn lê.

Daarom is die gegewe punte kollineêre punte. (Antw.)

Meer beantwoorde probleme word hieronder gegee vir verdere oefening deur die prosedure hierbo beskryf probleem 1:-

Probleme 2: Kontroleer of die punte (-1,-1), (0,0) en (1,1) kollineêr is of nie.

Ans. Ja

Probleme 3: Is dit moontlik om een ​​lyn deur drie punte (-3,2), (5,-3) en (2,2) te trek?

Ans.Geen

Probleme 4: Kontroleer of die punte (1,2), (3,2) en (-5,2), wat deur lyne verbind is, 'n driehoek in die koördinaatvlak kan vorm.

Ans. Geen

______________________________

Basiese voorbeelde oor die formules "middelpunt van 'n driehoek" in 2D-koördinaatmeetkunde

Sentrum:Dit is die middelpunt van die driehoek se grootste sirkel wat binne die driehoek pas. Dit is ook die snypunt van die drie middellyne van die binnehoeke van die driehoek.

Probleme 1: Die hoekpunte van 'n driehoek met sye is (-2,0), (0,5) en (6,0) onderskeidelik. Vind die middel van die driehoek.

Oplossing: Ons weet reeds,

If  A(x1,y1), B(x2,y2) en C(x3,y3) wees die hoekpunte, BC=a, CA=b en AB=c , G′(x,y) wees die middel van die driehoek,

Die koördinate van G′ is

en         

(Sien formule grafiek)

Asper die formule wat ons het,

(x1,y1) ≌(-4,0) dws  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,3) dws  x2= 0, y2=3 ;

(x3,y3) ≌(0,0) dws   x3= 0, y3=0

Ons het nou,

a= √ [(x2-x1)2+(j2-y1)2 ]

Of, a= √ [(0+4)2+(3-0)2 ]

Of, a= √ [(4)2+ (3)2 ]

Of, a= √ (16+9)

Of, a= √25

Of, a = 5 ——————(1)

b=√ [(x1-x3)2+(j1-y3)2 ]

Of, b= √ [(-4-0)2+(0-0)2 ]

Of, b= √ [(-4)2+ (0)2 ]

Of, b= √ (16+0)

Of, b= √16

Of, b= 4 ———————(2)

c= √ [(x3-x2)2+(j3-y2)2 ]

Of, c= √ [(0-0)2+(0-3)2 ]

Of, c= √ [(0)2+(-3)2 ]

Of, c= √ (0+9)

Of, c= √9

Of, c= 3 ———————(3)

en ax1+ bx2 + cx3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)

= -20+0+18

Of, ax1+ bx2 + cx3 = -2 ——————-(4)

ay1+ by2+ cy3 = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0+12+0

Of, ay1+ deur2+ cy3 = 12 ———————(5)

a + b + c = 5+4+3

Of, a+b+c = 12 ——————(6)

Gebruik bogenoemde vergelykings (1), (2), (3), (4), (5) en (6) ons kan die waarde van bereken x en y van

Of, x = -2/12

Of, x = -1/6

en

Of, y = 12/12

Of, y = 1

Daarom is die vereiste koördinate van die middelpunt van die gegewe driehoek (-1/6 , 1). (Antw.)

Meer beantwoorde probleme word hieronder gegee vir verdere oefening deur die prosedure wat in probleem 1 hierbo beskryf word:-

Probleme 2: Vind die koördinate van die middelpunt van die driehoek met hoekpunte by die punte (-3,-1), (-1,3)) en (1,1).

Probleme 3: Wat is die x-koördinaat van die middelpunt van die driehoek met hoekpunte (0,2), (0,0) en (0,-1)?

Probleme 4: Drie hoekpunte van 'n driehoek is (1,1), (2,2) en (3,3). Vind die middel van hierdie driehoek.


NASRINA PARVIN

Hi....ek is Nasrina Parvin. Ek het my gradeplegtigheid in Wiskunde voltooi, met 10 jaar ondervinding in die ministerie van kommunikasie en inligtingstegnologie van Indië. In my vrye tyd hou ek daarvan om wiskundeprobleme te onderrig en op te los. Van my kinderdae af is Wiskunde die enigste vak wat my die meeste gefassineer het.

Onlangse plasings