Gesamentlik verspreide ewekansige veranderlikes: 11 belangrike feite


inhoud

Gesamentlik verspreide ewekansige veranderlikes

     Die gesamentlik-verspreide ewekansige veranderlikes is die ewekansige veranderlike meer as een met waarskynlikheid gesamentlik versprei vir hierdie ewekansige veranderlikes, met ander woorde in eksperimente waar die verskillende uitkoms met hul gemeenskaplike waarskynlikheid bekend staan ​​as gesamentlik-verspreide ewekansige veranderlike of gesamentlike verdeling, so 'n tipe situasie vind plaas gereeld terwyl die probleme van die kanse hanteer word.

Gesamentlike verspreidingsfunksie | Gesamentlike Kumulatiewe waarskynlikheidsverdelingsfunksie | gesamentlike waarskynlikheid massa funksie | gesamentlike waarskynlikheid digtheid funksie

    Vir die ewekansige veranderlikes X en Y is die verspreidingsfunksie of gesamentlike kumulatiewe verspreidingsfunksie

waar die aard van die gesamentlike waarskynlikheid afhang van die aard van ewekansige veranderlikes X en Y, hetsy diskreet of kontinu, en die individuele verspreidingsfunksies vir X en Y kan verkry word deur hierdie gesamentlike kumulatiewe verspreidingsfunksie as

soortgelyk vir Y as

hierdie individuele verdelingsfunksies van X en Y staan ​​bekend as Marginale verdelingsfunksies wanneer gesamentlike verdeling oorweeg word. Hierdie verdelings is baie nuttig om die waarskynlikhede soos

en daarby word die gesamentlike waarskynlikheidsmassafunksie vir die ewekansige veranderlikes X en Y gedefinieer as

die individuele waarskynlikheidsmassa of -digtheidsfunksies vir X en Y kan verkry word met behulp van sodanige gesamentlike waarskynlikheidsmassa of -digtheidsfunksie soos in terme van diskrete ewekansige veranderlikes as

en in terme van kontinue ewekansige veranderlike sal die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidsfunksie wees

waar C enige tweedimensionele vlak is, en die gesamentlike verspreidingsfunksie vir kontinue ewekansige veranderlike sal wees

die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie van hierdie verspreidingsfunksie kan verkry word deur te differensieer

en die marginale waarskynlikheid van die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidfunksie

as

en

met betrekking tot die ewekansige veranderlikes X en Y onderskeidelik

Voorbeelde oor Gesamentlike verspreiding

  1. Die gesamentlike waarskynlikhede vir die ewekansige veranderlikes X en Y verteenwoordig die aantal wiskunde- en statistiekboeke uit 'n stel boeke wat 3 wiskunde-, 4 statistiek- en 5 fisikaboeke bevat indien 3 boeke ewekansig geneem word
  • Vind die gewrig waarskynlikheid massa funksie vir die steekproef van gesinne met 15% geen kind, 20% 1 kind, 35% 2 kind en 30% 3 kind as die gesin wat ons lukraak uit hierdie steekproef kies vir kind om Seun of Meisie te wees?

Die gesamentlike waarskynlikheid sal ons vind deur die definisie as te gebruik

Gesamentlik verspreide ewekansige veranderlikes
Gesamentlik verspreide ewekansige veranderlikes: Voorbeeld

en dit kan ons soos volg in die tabelvorm illustreer

Gesamentlik verspreide ewekansige veranderlikes
Gesamentlik verspreide ewekansige veranderlikes : Voorbeeld van gesamentlike verspreiding
  • Bereken die waarskynlikhede

as vir die ewekansige veranderlikes X en Y die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidsfunksie gegee word deur

met behulp van definisie van gesamentlike waarskynlikheid vir kontinue ewekansige veranderlike

en die gegewe gewrigsdigtheidsfunksie sal die eerste waarskynlikheid vir die gegewe reeks wees

op soortgelyke wyse die waarskynlikheid

en uiteindelik

  • Vind die gesamentlike digtheid funksie vir die kwosiënt X/Y van ewekansige veranderlikes X en Y as hulle gesamentlike waarskynlikheid digtheid funksie is

Om die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie vir die funksie X/Y te vind, vind ons eers die gesamentlike verspreidingsfunksie en dan sal ons die verkry resultaat onderskei,

so deur die definisie van gesamentlike verspreidingsfunksie en gegewe waarskynlikheidsdigtheidsfunksie het ons

dus deur hierdie verspreidingsfunksie te differensieer ten opsigte van a sal ons die digtheidsfunksie as kry

waar a binne nul tot oneindig is.

Onafhanklike ewekansige veranderlikes en gesamentlike verspreiding

     In die gesamentlike verspreiding daar word gesê dat die waarskynlikheid vir twee ewekansige veranderlikes X en Y onafhanklik is as

waar A en B die werklike versamelings is. Soos reeds in terme van gebeure weet ons dat die onafhanklike ewekansige veranderlikes die ewekansige veranderlikes is waarvan die gebeurtenisse onafhanklik is.

Dus vir enige waardes van a en b

en die gesamentlike verspreiding of kumulatiewe verspreidingsfunksie vir die onafhanklike ewekansige veranderlikes X en Y sal wees

as ons die diskrete ewekansige veranderlikes X en Y in ag neem dan

sedert

insgelyks ook vir die kontinue ewekansige veranderlike

Voorbeeld van onafhanklike gesamentlike verspreiding

  1. As die pasiënte wat vir 'n spesifieke dag in 'n hospitaal ingeskryf is, gif versprei word met parameter λ en waarskynlikheid van manlike pasiënt as p en waarskynlikheid van vroulike pasiënt as (1-p), wys dan dat die aantal manlike pasiënte en vroulike pasiënte wat in die hospitaal ingeskryf is is onafhanklike gif ewekansige veranderlikes met parameters λp en λ(1-p) ?

oorweeg die aantal manlike en vroulike pasiënte deur ewekansige veranderlike X en Y dan

as X+Y is die totale aantal pasiënte wat in die hospitaal ingeskryf is wat gif so versprei is

aangesien die waarskynlikheid van manlike pasiënt p is en vroulike pasiënt is (1-p), so presies van die totale vaste getal is manlik of vroulik toon binomiale waarskynlikheid as

met behulp van hierdie twee waardes sal ons die bogenoemde gesamentlike waarskynlikheid kry as

dus waarskynlikheid van manlike en vroulike pasiënte sal wees

en

wat wys beide van hulle is gif-toevallige veranderlikes met die parameters λp en λ(1-p).

2. vind die waarskynlikheid dat 'n persoon meer as tien minute by die vergadering vir 'n kliënt moet wag asof elke kliënt en daardie persoon tussen 12 en 1:XNUMX opdaag na eenvormige verspreiding.

oorweeg die ewekansige veranderlikes X en Y om die tyd vir daardie persoon en kliënt tussen 12 tot 1 aan te dui, dus sal die waarskynlikheid gesamentlik vir X en Y wees

bereken

waar X,Y en Z eenvormige ewekansige veranderlike oor die interval (0,1) is.

hier sal die waarskynlikheid wees

vir die eenvormige verspreiding die digtheidsfunksie

vir die gegewe reeks so

SOMME VAN ONAFHANKLIKE ELFHANKLIKE VERANDERLIKE DEUR GESAMENTLIKE VERSPREIDING

  Die som van onafhanklike veranderlikes X en Y met die waarskynlikheidsdigtheid funksioneer as kontinue ewekansige veranderlikes, die kumulatiewe verspreidingsfunksie sal wees

deur hierdie kumulatiewe verspreidingsfunksie te differensieer vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie van hierdie onafhanklike somme is

deur hierdie twee resultate te volg, sal ons 'n paar kontinue ewekansige veranderlikes en hul som as onafhanklike veranderlikes sien

som van onafhanklike eenvormige ewekansige veranderlikes

   vir die ewekansige veranderlikes X en Y eenvormig versprei oor die interval (0,1) is die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie vir beide hierdie onafhanklike veranderlikes

dus vir die som X+Y wat ons het

vir enige waarde lê a tussen nul en een

as ons 'n tussen een en twee beperk, sal dit wees

dit gee die driehoekige vorm digtheidsfunksie

as ons veralgemeen vir die n onafhanklike eenvormige ewekansige veranderlikes 1 tot n dan hul verspreidingsfunksie

deur wiskundige induksie sal wees

som van onafhanklike Gamma ewekansige veranderlikes

    As ons twee onafhanklike gamma ewekansige veranderlikes het met hul gewone digtheidsfunksie

volg dan die digtheid vir die som van onafhanklike gamma ewekansige veranderlikes

dit toon die digtheidsfunksie vir die som van gamma ewekansige veranderlikes wat onafhanklik is

som van onafhanklike eksponensiële ewekansige veranderlikes

    Op dieselfde manier as gamma ewekansige veranderlike die som van onafhanklike eksponensiële ewekansige veranderlikes kan ons digtheid funksie en verspreiding funksie verkry deur net spesifiek waardes van gamma ewekansige veranderlikes toe te ken.

Som van onafhanklike normale ewekansige veranderlike | som van onafhanklike Normaalverdeling

                As ons n aantal onafhanklike normale ewekansige veranderlikes Xi het, i=1,2,3,4….n met onderskeie gemiddeldes μi en afwykings σ2i dan hul som is ook normale ewekansige veranderlike met die gemiddelde as Σμi en afwykings Σσ2i

    Ons wys eers die normaalverspreide onafhanklike som vir twee normale ewekansige veranderlikes X met die parameters 0 en σ2 en Y met die parameters 0 en 1, kom ons vind die waarskynlikheidsdigtheidfunksie vir die som X+Y met

in die gesamentlike verspreiding digtheid funksie

met behulp van definisie van digtheidsfunksie van normale verspreiding

dus sal die digtheidsfunksie wees

wat niks anders as die digtheidsfunksie van a is nie normale verspreiding met gemiddelde 0 en variansie (1+σ2) wat dieselfde argument volg wat ons kan sê

met gewone gemiddelde en afwykings. As ons die uitbreiding neem en waarneem dat die som normaalverdeel is met die gemiddelde as die som van die onderskeie gemiddeldes en variansie as die som van die onderskeie afwykings,

dus op dieselfde manier sal die nde som die normaalverspreide ewekansige veranderlike wees met die gemiddelde as Σμi  en afwykings Σσ2i

Somme van onafhanklike Poisson ewekansige veranderlikes

As ons twee onafhanklike Poisson ewekansige veranderlikes X en Y met parameters λ1 en λ2 dan is hul som X+Y ook Poisson-toevalsveranderlike of Poisson-verspreid

aangesien X en Y Poisson-verspreid is en ons hul som kan skryf as die vereniging van onsamehangende gebeurtenisse so

deur die van waarskynlikheid van onafhanklike ewekansige veranderlikes te gebruik

dus kry ons die som X+Y is ook Poisson versprei met die gemiddelde λ1 + λ2

Somme van onafhanklike binomiale ewekansige veranderlikes

                As ons twee onafhanklike binomiale ewekansige veranderlikes X en Y met parameters (n,p) en (m, p) het, dan is hul som X+Y ook binomiale ewekansige veranderlike of Binomiaal versprei met parameter (n+m, p)

laat gebruik die waarskynlikheid van die som met definisie van binomiaal as

wat gee

dus is die som X+Y ook binomiaal versprei met parameter (n+m, p).

Gevolgtrekking:

Die konsep van gesamentlik-verspreide ewekansige veranderlikes wat die verdeling vergelykend vir meer as een veranderlike in die situasie gee, word bespreek. Daarbenewens word die basiese konsep van onafhanklike ewekansige veranderlike met behulp van gesamentlike verdeling en som van onafhanklike veranderlikes met een of ander voorbeeld van verdeling gegee met hul parameters, as jy verdere lees nodig het, gaan deur genoemde boeke. Vir meer plasing oor wiskunde, asseblief kliek hier.

https://en.wikipedia.org

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ek het my Ph.D. in Wiskunde en werk as 'n Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek hou daarvan om by te dra tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings