Omgekeerde gammaverspreiding: 21 belangrike feite


Omgekeerde gammaverspreiding en momentgenererende funksie van gammaverspreiding

      In voortsetting met gammaverspreiding sal ons die konsep van inverse gammaverspreiding en momentgenererende funksie, maatstaf van sentrale neigingsgemiddelde, modus en mediaan van gammaverspreiding sien deur sommige van die basiese eienskappe van gammaverspreiding te volg.

gamma verspreiding eienskappe

Sommige van die belangrike eienskappe van gamma verspreiding word as volg ingeskryf

Die waarskynlikheid digtheid funksie vir die gamma verspreiding is

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \\ \ 0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

or

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{ e^{-\frac{x}{\beta }}(x)^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha }\ tau (\alpha )} , &\ x\geq 0 \\ \ 0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

waar die gammafunksie is

[latex]\tau (\alpha )=\int_{0}^{\infty} e^{-y}y^{\alpha -1} dy[/latex]

2.Die kumulatiewe verspreidingsfunksie vir die gammaverspreiding is

[latex]f(a)=P(X\in (-\infty,a] ) =\int_{-\infty}^{a} f(x)dx[/latex]

waar f(x) die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie is soos hierbo gegee, in besonder cdf is

[latex]F(x) = \begin{gevalle} 0 , &\ x\leq 0 , \ \frac{1}{\tau (\alpha )\beta ^{\alpha }}\int_{0}^{ x}y^{\alpha -1}e^-{(y/\beta) } dy &\ x > 0 \end{gevalle}[/latex]

[latex]E[X]={\alpha\lambda}[/latex]

en

[latex]Var(X)={{\alpha}\lambda}^2[/latex]

onderskeidelik of

E[X]=α*β

en

[latex]Var(X)={{\alpha}\beta}^2[/latex]

  • Die momentgenererende funksie M(t) vir die gammaverspreiding is

[latex]= \left ( \frac{1}{1-\beta t} \right )^{\alpha } \ \ if \ \ t< \frac{1}{\beta }[/latex]

or

[latex]= \left ( \frac{\lambda }{\lambda – t} \right )^{\alpha }[/latex]

  • Die kromme vir die pdf en cdf is
Omgekeerde gamma verspreiding
  • Die omgekeerde gammaverspreiding kan gedefinieer word deur wederkerigheid van die waarskynlikheidsdigtheidfunksie van gammaverspreiding te neem as

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{e^-{\frac{1}{\beta x}}(\frac{1}{x})^{\alpha -1}}{ \beta ^{\alpha }\tau (\alpha)} &\ x\geq 0 \\ \ 0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

  • Die som van onafhanklike gamma verspreiding is weer die gamma verspreiding met som van die parameters.

inverse gamma verspreiding | normale inverse gamma verspreiding

                As in die gamma verspreiding in die waarskynlikheid digtheid funksie

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ 0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

or

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{ e^{-\frac{x}{\beta }}(x)^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha }\ tau (\alpha )} , &\ x\geq 0 \\ \ 0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

ons neem die veranderlike wederkerig of omgekeerd dan sal die waarskynlikheidsdigtheidfunksie wees

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{e^-{\frac{1}{\beta x}}(\frac{1}{x})^{\alpha -1}}{ \beta ^{\alpha }\tau (\alpha)} &\ x\geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

Dit is dus bekend dat die ewekansige veranderlike met hierdie waarskynlikheidsdigtheidfunksie die omgekeerde gamma-toevalsveranderlike of omgekeerde gammaverspreiding of omgekeerde gammaverspreiding is.

[latex]f_{Y}(y) = f_{X}(1/y)\links | \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} y}y^{-1} \right |[/latex]

[latex]= \frac{1}{\tau (\alpha )\beta ^{\alpha }}y^{-\alpha +1}e^{(-1/\beta y)}y^{-2 }[/latex]

[latex]= \frac{(\frac{1}{\beta })^{\alpha }}{\tau (\alpha )}y^{-\alpha -1}e^{(-1/\beta )/y}[/latex]

Die bogenoemde waarskynlikheidsdigtheidsfunksie in enige parameter kan ons óf in die vorm van lambda óf theta neem.

Kumulatiewe verspreidingsfunksie of cdf van inverse gammaverspreiding

                Die kumulatiewe verspreidingsfunksie vir die inverse gammaverspreiding is die verspreidingsfunksie

[latex]f(a)=P(X\in (-\infty,a] ) =\int_{-\infty}^{a} f(x)dx[/latex]

waarin die f(x) die waarskynlikheidsdigtheidfunksie van die inverse gammaverdeling as is

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{e^-{\frac{1}{\beta x}}(\frac{1}{x})^{\alpha -1}}{ \beta ^{\alpha }\tau (\alpha)} &\ x\geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

Gemiddelde en variansie van die inverse gamma verspreiding

  Die gemiddelde en variansie van die inverse gamma verspreiding deur die gewone definisie van verwagting en variansie te volg sal wees

[latex]E[X]=\frac{\beta }{\alpha -1} \ \ , \alpha > 1[/latex]

en

[latex]Var[X]=\frac{\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)} \ \ , \alpha > 2[/latex]

Gemiddelde en variansie van die inverse gamma verspreiding bewys

        Om die gemiddelde en variansie van die omgekeerde gammaverspreiding te kry deur die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie te gebruik

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{e^-{\frac{1}{\beta x}}(\frac{1}{x})^{\alpha -1}}{ \beta ^{\alpha }\tau (\alpha)} &\ x\geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

en die definisie van verwagtinge, vind ons eers die verwagting vir enige mag van x as

[latex]E(X^{n})=\frac{\beta ^{\alpha }}{\tau (\alpha )}\int_{0}^{\infty}x^{n}x^{- \alpha -1} e^{(-\beta /x)} dx[/latex]

[latex]E(X^{n})=\frac{\beta ^{\alpha }}{\tau (\alpha )}\int_{0}^{\infty}x^{n-\alpha -1 } e^{(-\beta /x)} dx[/latex]

[latex]E(X^{n})=\frac{\beta ^{\alpha }}{\tau (\alpha )} \frac{\tau (\alpha -n)}{\beta^{\alpha -n}}[/latex]

[latex]=\frac{\beta ^{n}\tau (\alpha-n)}{(\alpha -1)….(\alpha -n)\tau (\alpha -n)}[/latex]

[latex]=\frac{\beta ^{n}}{(\alpha -1)….(\alpha -n)}[/latex]

in die bogenoemde integraal het ons die digtheidsfunksie as gebruik

[latex]f(x)=\frac{\beta ^{\alpha }}{\tau \alpha }x^{-\alpha -1} e^{(-\beta /x)}[/latex]

nou vir die waarde van α groter as een en n as een

[latex]E(X)=\frac{\beta }{\alpha -1}[/latex]

net so is die waarde vir n=2 vir alfa groter as 2

[latex]E(X^{2})=\frac{\beta^{2} }{(\alpha -1)(\alpha -2)}[/latex]

die gebruik van hierdie verwagtinge sal gee ons die waarde van variansie as

[latex]Var(X)=E(X^{2}) -E(X)^{2} =\frac{\beta^{2} }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}[/latex]

Invers gamma verspreiding plot | Inverse gamma verspreiding grafiek

                Die inverse gamma-verspreiding is die wederkerige van die gamma-verspreiding, so terwyl die gamma-verspreiding waargeneem word, is dit goed om die aard van die krommes van inverse gamma-verspreiding waar te neem met waarskynlikheidsdigtheidsfunksie as

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{e^-{\frac{1}{\beta x}}(\frac{1}{x})^{\alpha -1}}{ \beta ^{\alpha }\tau (\alpha)} &\ x\geq 0 \ \ 0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

en die kumulatiewe verspreidingsfunksie deur te volg

[latex]F(a)=P(X\in (-\infty,a] ) =\int_{-\infty}^{a} f(x)dx[/latex]

Omgekeerde gamma verspreiding
Inverse gamma verspreiding grafiek

Beskrywing: grafieke vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie en kumulatiewe verspreidingsfunksie deur die waarde van α as 1 vas te stel en die waarde van β te verander.

Omgekeerde gamma verspreiding
Inverse gamma verspreiding grafiek

Beskrywing: grafieke vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie en kumulatiewe verspreidingsfunksie deur die waarde van α as 2 vas te stel en die waarde van β te verander

Omgekeerde gamma verspreiding
Inverse gamma verspreiding grafiek

Beskrywing: grafieke vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie en kumulatiewe verspreidingsfunksie deur die waarde van α as 3 vas te stel en die waarde van β te verander.

Omgekeerde gamma verspreiding
Inverse gamma verspreiding grafiek

Beskrywing: grafieke vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie en kumulatiewe verspreidingsfunksie deur die waarde van β as 1 vas te stel en die waarde van α te verander.

Omgekeerde gamma verspreiding
Inverse gamma verspreiding grafiek

Beskrywing: grafieke vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie en kumulatiewe verspreidingsfunksie deur die waarde van β as 2 vas te stel en die waarde van α te verander

Omgekeerde gamma verspreiding
Inverse gamma verspreiding grafiek

Beskrywing: grafieke vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie en kumulatiewe verspreidingsfunksie deur die waarde van β as 3 vas te stel en die waarde van α te verander.

momentgenererende funksie van gammaverspreiding

Voordat ons die konsep van momentgenererende funksie vir die gammaverspreiding verstaan, laat ons die een of ander konsep van momentgenererende funksie onthou

Oomblikke

    Die oomblik van die ewekansige veranderlike word met behulp van verwagting gedefinieer as

[latex]{\mu_{r} }'=E(X^{r})[/latex]

dit staan ​​bekend as r-de moment van die ewekansige veranderlike X dit is die oomblik oor oorsprong en algemeen bekend as rou moment.

     As ons die r-de moment van die ewekansige veranderlike neem oor die gemiddelde μ as

[latex]{\mu_{r} }=E[(X-\mu)^{r}][/latex]

hierdie oomblik oor die gemiddelde staan ​​bekend as sentrale moment en die verwagting sal wees soos per die aard van ewekansige veranderlike as

[latex]{\mu_{r} }=\som (X-\mu)^{r} f(x) \ \ (diskrete \ \ veranderlike)[/latex]

[latex]{\mu_{r} }=\int_{-\infty}^{\infty}(X-\mu)^{r} f(x) \ \ (kontinue \ \ veranderlike)[/latex]

in die sentrale moment as ons waardes van r sit dan kry ons 'n paar aanvanklike momente as

[latex]{\mu}{0}=1, {\mu}{1}=0 , {\mu}_{2}=\sigma ^{2}[/latex]

As ons die binomiale uitbreiding in die sentrale momente neem, kan ons maklik die verband tussen die sentrale en rou momente kry as

[latex]{\mu}{r}={\mu}'{r}- \binom{r}{1}{\mu}'{r-1}{\mu}+…..+(-1)^{j}\binom{r}{j}{\mu}'{rj}{\mu}^{j} + …..+(-1)^{^{r}}{\mu}'_{0}{\mu}^{r}[/latex]

sommige van die aanvanklike verhoudings is soos volg

[latex]{\mu}'{1}={\mu} \ \ en \ \ {\mu}'{0}=1 , \ \ \ {\mu}{2}= {\mu}'{2}- {\mu}^{2} \ {\mu}{3}= {\mu}'{3}-3{\mu}'{2}{\mu} +2{\mu}^{3} \ {\mu}{4}= {\mu}'{4}-4{\mu}'{3}{\mu}+6{\mu}'{2}{\mu}^{2} -3{\mu}'{4}[/latex]

Oomblikgenererende funksie

   Die momente wat ons kan genereer met behulp van 'n funksie wat die funksie bekend staan ​​as momentgenererende funksie en word gedefinieer as

[latex]M_{X}(t)=E(e^{tX})[/latex]

hierdie funksie genereer die momente met behulp van uitbreiding van eksponensiële funksie in enige van die vorms

[latex]M_{X}(t)=\som e^{tX}f(x) \ \ (diskrete \ \ veranderlike) \ M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty } e^{tX}f(x) \ \ (kontinue \ \ veranderlike)[/latex]

met behulp van Taylors vorm as

[latex]M_{X}(t)=1+\mu t+\mu' {2}\frac{t^{2}}{2!} +….+\mu' {r}\frac{t^{r}}{r!}+..[/latex]

differensieer hierdie uitgebreide funksie ten opsigte van t gee die verskillende momente as

[latex]\mu' {r}=\frac{\mathrm{d^{r}} }{\mathrm{d} t^{r}}M{X}(t)\lvert_{t=0 }[/latex]

op 'n ander manier as ons die afgeleide direk neem as

[latex]M'(t)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} E[e^{tX}] \ = E\left [ \frac{\mathrm{d} }{ \mathrm{d} t}(e^{tX}) \right ] \ =E\left [ Xe^{tX} \right ][/latex]

aangesien vir beide diskreet

[latex]\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left [ \sum_{x}e^{tx}p(x) \right ] =\som_{x}\frac{\ mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[e^{tx}p(x)][/latex]

en voortdurend het ons

[latex]\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left [ \int e^{tx}f(x)dx \right ] =\int \frac{\mathrm{d} } {\mathrm{d} t}[e^{tx}f(x)]dx[/latex]

so vir t=0 sal ons kry

[latex]M'(0)=E[X][/latex]

eweneens

[latex]M”(t)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} M'(t) \ =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} E[Xe^{tX}] \ =E\left [ \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t} (Xe^{tX})\regs ] \ =E[X^{2} e^{tX}][/latex]

as

[latex]M”(0)=E[X^{2}][/latex]

en in die algemeen

[latex]M^{n}(t)=E[X^{n}e^{tX}] \ \ n\geq 1 \ M^{n}(0)=E[X^{n}] \ \ n\geq 1[/latex]

daar is twee belangrike verbande vir die oomblik wat funksies genereer

[latex]M_{(X+a)/b}(t)=e^{at/b}] M_{X}(t/b) \ M_{(X+Y)}(t)=M_{X }(t) M_{Y}(t)[/latex]

momentgenererende funksie van 'n gammaverspreiding | mgf van gamma verspreiding | oomblik genererende funksie vir gamma verspreiding

Nou vir die gamma verspreiding die oomblikgenererende funksie M(t) vir die pdf

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{ e^{-\frac{x}{\beta }}(x)^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha }\ tau (\alpha )} , &\ x\geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

is

[latex]=\left ( \frac{1}{1-\beta t} \right )^{\alpha } \ \ if \ \ t< \frac{1}{\beta }[/latex]

en vir die pdf

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

die oomblik genererende funksie is

[latex]=\left ( \frac{\lambda }{\lambda -t} \right )^{\alpha }[/latex]

gamma verspreiding moment genererende funksie bewys | mgf van gamma verspreiding bewys

    Neem nou eers die vorm van waarskynlikheidsdigtheidsfunksie as

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

en die gebruik van die definisie van momentgenererende funksie M(t) wat ons het

[latex]M_{X}(t)=E(e^{tX})[/latex]

[latex]=E\left [ e^{tX} \right ] \ =\frac{\lambda ^{\alpha }}{\tau (\alpha )}\int_{0}^{\infty} e^{ tx}e^{-\lambda x}x^{\alpha -1} dx \ =\frac{\lambda ^{\alpha }}{\tau (\alpha )}\int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda -t)x}x^{\alpha -1} dx \ =\frac{\lambda }{\lambda -t}^{\alpha }\frac{1}{\tau (\ alpha )} \int_{0}^{\infty} e^{-y}y^{\alpha -1} dy \ \ \ \ [deur \ \ y=(\lambda -t)x ] \ =\frac {\lambda }{\lambda -t}^{\alpha }[/latex]

ons kan die gemiddelde en variansie van die gamma-verspreiding vind met behulp van momentgenererende funksie as differensiërende met betrekking tot t twee keer hierdie funksie wat ons sal kry

[latex]=\frac{\alpha \lambda ^{\alpha }}{(\lambda -t)^{\alpha +1}} \\ = \frac{\alpha (\alpha +1)\lambda ^{ \alpha }}{(\lambda -t)^{\alpha +2}}[/latex]

as ons t=0 plaas dan sal eerste waarde wees

[latex]E[X]=\frac{\alpha }{\lambda }[/latex]

en

[latex]E[X^{2}]=\frac{\alpha(\alpha +1)}{\lambda^{2} }[/latex]

Sit nou die waarde van hierdie verwagting in

[latex]Var(X)= E[X^{2}] -E[X]^{2} \ Var(X)= \frac{\alpha (\alpha +1)}{\lambda ^{2} } -\frac{\alpha ^{2}}{\lambda^{2}} \ Var(X) =\frac{\alpha ^{2}+\alpha }{\lambda ^{2}} -\frac {\alpha ^{2}}{\lambda^{2}} = \frac{\alpha }{\lambda ^{2}}[/latex]

afwisselend vir die pdf van die vorm

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{ e^{-\frac{x}{\beta }}(x)^{\alpha -1}}{\beta ^{\alpha }\ tau (\alpha )} , &\ x\geq 0 \\ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

die oomblik genererende funksie sal wees

[latex]M(t)=\frac{1}{\tau (\alpha )\beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty}e^{^(x(t-1/\ beta )} x^{\alpha -1} dx \ = \left ( \frac{1}{1-\beta t} \right )^{\alpha }\int_{0}^{\infty} \frac{ y^{\alpha -1} e^{-y}}{\tau (\alpha )} dy \ \ , \ \ t< \frac{1}{\beta } \ = (1-\beta t)^ {-\alpha } \ \ t< \frac{1}{\beta }[/latex]

en differensieer en stel t=0 sal gemiddelde en variansie soos volg gee

[latex]EX=M'(t) \lvert_{t=0} =\alpha \beta , \ EX^{2} =M”(t) \lvert_{t=0}=\alpha (\alpha +1 )\beta ^{2} , \ Var(X) =\alpha \beta ^{2}[/latex]

2de moment van gamma verspreiding

   Die tweede moment van gamma verspreiding deur momentgenererende funksie twee keer te differensieer en die waarde van t=0 in tweede afgeleide van daardie funksie te plaas, sal ons kry

[latex]E[X^{2}]=\frac{\alpha (\alpha +1)}{\lambda ^{2}}[/latex]

derde oomblik van gamma verspreiding

                Die derde moment van gamma verspreiding kan ons vind deur die momentgenererende funksie drie keer te differensieer en die waarde van t=0 in derde afgeleide van die mgf wat ons sal kry te plaas

[latex]E[X^{3}]=\frac{\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)}{\lambda ^{3}}[/latex]

of direk deur te integreer as

[latex]E[X^{3}]=\int_{0}^{\infty}x^{3}f_{X}(x)dx \ =\int_{0}^{\infty}\frac{ \lambda ^{\alpha }x^{3+\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\tau (\alpha )} dx \ = \frac{1}{\lambda^{3}} \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda ^{\alpha +3}x^{3+\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\tau (\alpha )} dx \ = \frac{\tau (\alpha +3)}{\lambda ^{3}\tau (\alpha )} \int_{0}^{\infty} \frac{\lambda ^{\alpha +3} x^{3+\alpha -1}e^{-\lambda x}}{\tau (\alpha +3 )} dx[/latex]

 sigma vir gamma verspreiding

   sigma of standaardafwyking van gamma verspreiding kan ons vind deur die vierkantswortel van variansie van gamma verspreiding van tipe te neem

[latex]Var(X)=\alpha \beta ^{2}[/latex]

or

[latex]Var(X)= \frac{\alpha}{\lambda ^{2}}[/latex]

vir enige gedefinieerde waarde van alfa, beta en lambda.

kenmerkende funksie van gammaverspreiding | gamma verspreiding kenmerk funksie

      As die veranderlike t in die momentgenererende funksie suiwer 'n denkbeeldige getal as t=iω is, staan ​​die funksie bekend as die kenmerkende funksie van gammaverspreiding aangedui en uitgedruk as

[latex]\phi_{X}(\omega )=M_{X}(i\omega )=E(e^{i\omega X})[/latex]

soos vir enige ewekansige veranderlike sal die kenmerkende funksie wees

[latex]\phi_{X}(\omega )= \sum E(e^{i\omega X})f(x) \ \ (diskrete \ \ veranderlike) \ \phi_{X}(\omega )= \ int_{-\infty}^{\infty} E(e^{i\omega X})f(x) \ \ (kontinue\ \ veranderlike) \[/latex]

Dus vir die gammaverspreiding is die kenmerkende funksie deur die pdf van gammaverspreiding te volg

[latex]\phi_{X}(\omega )= (1-i\beta \omega )^{-\alpha }[/latex]

volgende

[latex]\int_{-\infty}^{\infty}x^{\alpha -1}e^{-x}(1-i\beta t)/\beta dx =((1-i\beta t) )/\beta )^{-\alpha }\int_{0}^{\infty}x^{\alpha -1}e^{-x} dx=\tau (\alpha )\beta ^{\alpha } (1-i\beta t)^{-\alfa }[/latex]

Daar is 'n ander vorm van hierdie kenmerke funksie ook as

[latex]M_{X}(t)=(1-\frac{2h}{n}t)^{-n/2}[/latex]

dan

[latex]\phi_{X} (t)=(1-\frac{2h}{n}it)^{-n/2}[/latex]

som van gamma-verdelings | som van eksponensiële verdeling gamma

  Om die resultaat van som van gamma-verspreiding te ken, moet ons eerstens die som van onafhanklike ewekansige veranderlike vir die kontinue ewekansige veranderlike verstaan, laat ons hiervoor waarskynlikheidsdigtheidsfunksies vir die kontinue ewekansige veranderlikes X en Y dan die kumulatiewe verdelingsfunksie vir die som van ewekansige veranderlikes sal wees

F_{X}+_{Y}(a)=P {(X +Y \leq a )} \ \
=\iint{X+Y\leq a} f_{X}(x)f_{Y}(y)dx dy \ =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{ ay}f_{X}(x)f_{Y}(y)dx dy \ =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{ay}f_{X}(x) dx f_{Y}(y) dy \ =\int_{-\infty}^{\infty}F_{X} (ay) f_{Y}(y)dy

Deur hierdie konvolusie van integraal te differensieer vir die waarskynlikheidsdigtheidsfunksies van X en Y sal die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie vir die som van ewekansige veranderlikes as

[latex]F_{X}+{Y}(a) =\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a}\int{-\infty}^{\infty}F_{X}(ay)f_{Y}(y) dy \ = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\mathrm{d} }{\ mathrm{d} a}F_{X}(ay)f_{Y}(y) dy \ = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(ay)f_{Y}(y) dy [/latex]

Laat ons nou bewys as X en Y die gamma ewekansige veranderlikes met onderskeie digtheidsfunksies is, dan sal die som ook gammaverspreiding wees met die som van dieselfde parameters

met inagneming van die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie van die vorm

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

vir die ewekansige veranderlike X neem alfa as s en vir ewekansige veranderlike Y neem alfa as t so gebruik die waarskynlikheidsdigtheid vir die som van ewekansige veranderlikes wat ons het

[latex]F_{X}+{Y}(a) =\frac{1}{\Gamma (s)\Gamma (t)}\int{0}^{a}\lambda e^{-\lambda (ay)} (\lambda (ay))^{s-1}\lambda e^{-\lambda y} (\lambda y)^{t -1} dy[/latex]

hier is C onafhanklik van a, nou sal die waarde wees

[latex]F_{X}+_{Y}(a) =\frac{\lambda e^{-\lambda a}(\lambda a)^{s+t-1}}{\Gamma (s+t )}[/latex]

wat die waarskynlikheidsdigtheidfunksie van som van X en Y verteenwoordig en wat van die Gamma-verspreiding is, dus verteenwoordig die som van die gamma-verspreiding ook die gamma-verspreiding deur die onderskeie som van parameters.

wyse van gamma verspreiding

    Om die modus van gammaverspreiding te vind, laat ons die waarskynlikheidsdigtheidfunksie as

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

differensieer nou hierdie pdf met betrekking tot x, ons sal die differensiasie kry as

[latex]= \frac{\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}e^{-\lambda x} [(\alpha -1)x^{\alpha -2}-\lambda x ^{\alpha -1}] = \frac{\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}e^{-\lambda x} [(\alpha -1)x^{\alpha -2 [(\alpha -1)-\lambda x]][/latex]

dit sal nul wees vir x=0 of x=(α -1)/λ

so dit is slegs kritieke punte waar ons eerste afgeleide nul sal wees as alfa groter as of gelyk aan nul dan sal x=0 nie modus wees nie, want dit maak pdf nul, dus sal modus (α -1)/λ wees

en vir alfa streng minder as een verminder die afgeleide van oneindig na nul soos x van nul na oneindig toeneem, so dit is nie moontlik nie, daarom is die modus van gammaverspreiding

[latex]\textbf{modus} =\mathbf{\frac{\alpha -1}{\lambda }}[/latex]

mediaan van gamma verspreiding

Die mediaan van die gamma verspreiding kan gevind word met behulp van inverse gamma verspreiding as

[latex]\textbf{mediaan} ={\frac{\1}{\lambda }\gamma ^{-1} \left ( \alpha , \frac{\Gamma (\alpha )}{2} \right ) } [/latex]

or

[latex]\textbf{mediaan} =\beta \gamma ^{-1}\left ( \alpha , \frac{\Gamma (\alpha )}{2} \right )[/latex]

verskaf

[latex]n+\frac{2}{3}< median(n)< min(n+log2,n+\frac{2}{3}+(2n+2)^{-1})[/latex]

wat gee

[latex]median(n)=n+\frac{2}{3}+\frac{8}{405n} -\frac{64}{5103n^{2}}+…..[/latex]

gamma verspreiding vorm

     Gammaverspreiding neem verskillende vorm aan na gelang van die vormparameter wanneer vormparameter een is gammaverspreiding is gelyk aan die eksponensiële verspreiding, maar wanneer ons die vormparameter verander, neem die skeefheid van die kromme van gammaverspreiding af namate die toename in die vormparameter, met ander woorde die vorm van die kromme van gamma-verspreiding verander volgens die standaardafwyking.

skeefheid van gamma verspreiding

    skeefheid van enige verspreiding kan waargeneem word deur die waarskynlikheiddigtheidfunksie van daardie verspreiding en skeefheidskoëffisiënt waar te neem

[latex]\gamma {1}=\frac{E\left [ \left ( X -\mu \right )^{3} \right ]}{\sigma ^{3}} =\frac{\mu{3}}{\sigma ^{3}}[/latex]

vir die gamma-verspreiding wat ons het

[latex]E(X^{k})=\frac{(\alpha +k-1)(\alpha +k-2)…….\alpha }{\beta ^{k}}[/latex]

so

[latex]\gamma _{1}=\frac{ \frac{(\alpha +2)(\alpha +1)\alpha }{\beta ^{3}}-3\frac{\alpha }{\beta }\frac{\alpha }{\beta ^{3}}-\frac{\alpha ^{3}}{\beta ^{3}} }{{\left ( \frac{\alpha }{\beta ^ {2}} \right )}^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{\sqrt{\alpha }}[/latex]

dit wys die skeefheid hang slegs van alfa af as alfa-toenames tot oneindig kurwe meer simmetries en skerp sal wees en wanneer alfa na nul gaan, is die gamma verspreiding digtheidskromme positief skeef wat in die digtheidsgrafieke waargeneem kan word.

algemene gamma verspreiding | vorm en skaal parameter in gamma verspreiding | drie parameter gamma verspreiding | meerveranderlike gamma verspreiding

[latex]f(x)=\frac{ (\frac{(x-\mu)}{\beta })^{\gamma -1}e^{-\frac{x-\mu}{\beta } }}{\beta \Gamma (\gamma )} \ \ x\geq \mu ; \gamma ,\beta > 0[/latex]

waar γ, μ en β onderskeidelik die vorm-, ligging- en skaalparameters is, deur spesifieke waardes aan hierdie parameters toe te ken, kan ons die twee parameter gammaverspreiding spesifiek kry as ons μ=0, β=1 plaas, dan sal ons standaard gammaverspreiding kry as

[latex]f(x)=\frac{x^{\gamma -1}e^{-x}}{\Gamma(\gamma)} \ \ x\geq 0 ; \gamma > 0[/latex]

deur hierdie 3 parameter gamma verspreiding waarskynlikheidsdigtheid funksie te gebruik, kan ons die verwagting en variansie vind deur onderskeidelik die definisie te volg.

Gevolgtrekking:

Die konsep van wederkerige van gamma verspreiding dit is inverse gamma verspreiding in vergelyking met gamma-verspreiding en meting van sentrale neigings van gamma-verspreiding met behulp van oomblikgenererende funksie was die fokus van hierdie artikel, as jy verdere lees nodig het, gaan deur voorgestelde boeke en skakels. Vir meer plasing oor wiskunde, besoek ons wiskunde bladsy.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek dra graag by tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings