Funksieteorie: 9 volledige vinnige feite


INLEIDING

Wat is wiskunde? Is dit berekening? Is dit logika? Is dit simbole? Prente? Grafieke? Dit blyk dat dit alles is en soveel meer. DIT IS MAAR 'N TAAL. Die universele taal, met sy simbole, karakters, uitdrukkings, woordeskat, grammatika, alles wat 'n taal maak, alles perfek beredeneerd, uniek en ondubbelsinnig in hul betekenis. Dit is die taal waarin die wette van die heelal geskryf is. Daarom is dit die taal wat ons moet leer en verken om die geheimenisse van die natuur te ontrafel. Ons moet ons bespreking oor een van die mooiste en mees fundamentele wiskunde-onderwerpe, FUNKSIETEORIE, met hierdie filosofie begin.

WAT IS UITDRUKKINGS, VERGELYKINGS EN IDENTITEITE?

Soos alle goed gedefinieerde tale, kom wiskunde met sy eie stel simbole en karakters, numeries en alfabeties. 'n Uitdrukking in wiskunde is 'n kombinasie van sulke simbole en karakters. Dit sal alles hierin verduidelik word funksie teorie bespreking.

5+2/(9-3)

7a+2b-3c

2 cos 1/2 (α + β) cos 1/2 (α – β)

Dit is alles wiskundige uitdrukkings. Maak nie saak of hulle geëvalueer kan word of nie, of hulle betekenisvol is en as hulle behoorlike sintaksis volg, dit is uitdrukkings.

Nou, wanneer ons twee uitdrukkings met 'n '='-teken vergelyk, het ons iets soos ...

(1+x)2 = 1+2x+x2

Wat 'n uitdrukking is vir gelykheid van twee uitdrukkings wat aan weerskante van 'n =-teken geskryf is. Let daarop dat hierdie gelykheid waar is vir alle waardes van x. Hierdie soort gelykhede word IDENTITEITE genoem.

(1+x)2 = 2+3x+2x2…………..(1)

Of soos

(1+x)2 = 7-3x+2x2…………(2)

Dan sal hulle nie waar wees vir alle waardes van x nie, eerder sal hulle waar wees vir sommige waardes van x soos (2) of hulle sal waar wees vir GEEN waardes van x, soos (1). Dit word VERGELYKINGS genoem.

So om op te som, gelykhede wat vir alle waardes van die veranderlikes het, is IDENTITEITE. En gelykhede wat geld vir sommige of geen waardes van die veranderlikes nie, is VERGELYKINGS.

HOEKOM HET ONS DIE KONSEP VAN FUNKSIE NODIG?

Is dit nie verstommend dat die heelal so perfek gebalanseerd is nie? 'n Stelsel van so 'n enorme grootte wat bestaan ​​uit soveel kleiner stelsels, elk met soveel veranderlikes wat met mekaar in wisselwerking is, maar tog so goed gedra. Lyk dit nie asof alles deur 'n stel reëls beheer word, ongesiens maar oral bestaan ​​nie? Neem die voorbeeld van die gravitasiekrag. Dit is omgekeerd eweredig aan die afstand tussen liggame, en hierdie reël word deur alle sake, oral in die heelal, gevolg. Dus, ons moet 'n manier hê om sulke reëls uit te druk, soos verbande tussen veranderlikes.

Ons word omring deur sulke veranderlikes wat afhanklik is van ander veranderlikes. Die lengte van die skaduwee van 'n gebou hang af van sy hoogte en die tyd van die dag. Die afstand wat per motor afgelê word, hang af van die wringkrag wat deur sy enjin gegenereer word. Dit is die konsep van funksieteorie wat ons in staat stel om sulke verbande wiskundig uit te druk.

DUS WAT IS 'N FUNKSIE IN WISKUNDE?

Funksiereël of FUNKSIE as 'n reël

Om dit eenvoudig te stel, 'n funksie is 'n reël wat twee of meer veranderlikes bind. As die veranderlikes toegelaat word om slegs reële waardes te neem, is dit bloot 'n uitdrukking wat 'n reël definieer of 'n stel reëls wat 'n reële getal aan elk van sekere reële getalle toeken.

Nou vereis hierdie definisie sekerlik 'n mate van toeligting wat gegee word deur die voorbeelde soos

1. Die reël wat die kubus van daardie getal aan elke getal toeken.

f (x) = x3

2. Die reël wat (x2-x-1)/x3 aan elke x

f(x) = (x2-x-1)/x3

3. Die reël wat toeken (x2-x-1)/(x2+x+1) aan alle x wat nie gelyk is aan 1 nie en die getal 0 tot 1

f(x) = (x2-x-1)/(x2+x+1) vir x ≠ 1

                                                 = 0 vir x=1

  • f (x) = x2   vir -1 < x < π/3
  • Die reël wat toeken

  2 tot nommer 5

  3 tot nommer 8/3

  π/2 tot nommer 1

  en  aan die res

  • Die reël wat aan 'n getal x toeken, die getal 1'e in sy desimale uitbreiding as die telling eindig is en 0 as daar oneindig baie 1'e in die uitbreiding is.

Hierdie voorbeelde moet een ding baie duidelik maak dat 'n funksie enige reël is wat getalle aan spesifieke ander getalle toeken. Hierdie reëls kan nie altyd deur algebraïese formulering uitgedruk word nie. Dit dui dalk nie eers op een unieke toestand wat op alle getalle van toepassing is nie. En dit hoef nie 'n reël te wees wat 'n mens in die praktyk of in die werklike wêreld kan vind, soos die een in reël 6 nie. Niemand kan sê watter getal hierdie reël aan die getal π of √2 toeken nie. Die reël is dalk ook nie van toepassing op sommige getalle nie. Byvoorbeeld, reël 2 is nie van toepassing op x=0 nie. Die stel getalle waarop die reël van toepassing is, word die DOMEIN van die funksie genoem.

SO WAT BETEKEN y= f(x)?

Let daarop dat ons die uitdrukking y=f(x) gebruik om 'n funksie te skryf. Wanneer ons 'n uitdrukking begin met 'f(x) = y', bedoel ons dat ons op die punt staan ​​om 'n funksie te definieer wat 'n stel getalle in verband bring met 'n stel waardes van die veranderlike x.

FUNKSIE as 'n verhouding

Dus, met ander woorde, en miskien in 'n meer algemene sin, is 'n funksie 'n verband tussen twee versamelings A en B, waar al die elemente in die versameling A 'n element aan hulle toegewys is vanaf die versameling B. Die elemente van versameling B word die genoem IMAGES en die elemente van versameling A word die genoem VOORBEELDE.

Die proses om die elemente in verband te bring word genoem MAPPING. Natuurlik kan daar baie maniere wees waarop hierdie kartering gedoen kan word, maar ons sal hulle nie almal as funksies noem nie. Slegs daardie afbeeldings wat die elemente op so 'n manier in verband bring dat elke element in versameling A presies een beeld in versameling B het, moet funksies genoem word. Dit word soms geskryf as f : A–> B . Dit moet gelees word as 'f is 'n funksie van A tot B'.

Die versameling A word die genoem DOMEIN van die funksie en die versameling B word die genoem CO-DOMAIN van die funksie. As f so is dat die beeld van een element a van versameling A die element b van versameling B is, dan skryf ons f(a) = b, gelees as 'f van a is gelyk aan b', of 'b is die waarde van f by a', of 'b is die beeld van a onder f'.

SOORTE FUNKSIES

Funksies kan geklassifiseer word volgens die manier waarop hulle die twee stelle verbind.

Een – een of injektiewe funksie

funksieteorie: Een tot Een of injektiewe funksie

Die figuur sê alles. Dit is wanneer 'n funksie elke element van 'n versameling in verband bring met 'n unieke element van 'n ander versameling, dit is 'n een-tot-een of injektiewe funksie.

Baie – een funksie

funksie teorie
funksie teorie: Baie tot Een funksie

Weereens, die figuur is redelik selfverduidelikend. Daar is klaarblyklik meer as een voorbeeld vir 'n spesifieke beeld. Daarom is die kartering veel tot een. Let daarop dat dit nie die definisie van 'n funksie oortree nie, aangesien geen element van versameling A meer as een beeld in versameling B het nie.

ONTO-funksie of SURJECTIVE-funksie

Funksieteorie: ONTO-funksie of SURJEKTIEWE funksie

Wanneer al die elemente van versameling B ten minste een voorbeeld het, word die funksie Onto of surjektief genoem. Op kartering kan een tot een of baie tot een wees. Die een wat hierbo uitgebeeld word, is klaarblyklik baie tot een op kartering. Let daarop dat die prent wat voorheen gebruik is om een-tot-een-kartering uit te beeld, ook op kartering is. Hierdie soort een tot een op kartering staan ​​ook bekend as BIEKTIEF kartering.

In funksie

Funksieteorie: INTO Funksie

Wanneer daar ten minste een beeld sonder enige voorbeeld is, is dit 'n INTO-funksie. In funksie kan een tot een of baie tot een wees. Die een hierbo uitgebeeld is natuurlik een tot een in.

GRAFIEK VAN 'N FUNKSIE

Soos vroeër gesê is dat 'n funksie reële getalle aan sekere reële getalle toeken, is dit heel moontlik en gerieflik om die getallepaar op XY Cartesiese vlak te plot. Die spoor wat verkry word deur die punte te verbind, is die grafiek van die funksie.

Kom ons oorweeg 'n funksie f(x) = x + 3. Dan kan ons f(x) by x=1,2,3 evalueer om drie pare x en f(x) te verkry as (1,4) , ( 3,6) en (5,8). Deur hierdie punte te plot en hulle te verbind, wys die funksie 'n reguit lyn in die xy-vlak. Hierdie lyn is die grafiek van die funksie.

Funksieteorie: Grafiek van 'n funksie_1

Klaarblyklik sal die aard van die spoor verskil volgens die uitdrukking vir die funksie. Ons kry dus 'n reeks grafieke vir verskillende soorte uitdrukkings. 'n Paar word gegee.

Die grafieke van f(x) = sin x, f(x) = x2 en f(x) = ex van links na regs

Funksieteorie: Grafiek van 'n funksie_2

Op hierdie punt kan 'n mens sien dat die uitdrukking vir 'n funksie eintlik soos dié van 'n vergelyking lyk. En dit is waar, byvoorbeeld y = x + 3 is inderdaad 'n vergelyking sowel as 'n funksiedefinisie. Dit bring ons die vraag, is alle vergelyking funksies? Indien nie dan

Hoe om te bepaal of 'n vergelyking 'n funksie is?

Al die vergelykings wat vroeër in die grafieke uitgebeeld is, is eintlik funksies, want vir almal is daar presies een waarde van f(x) of y vir een of ander waarde van x. Dit beteken dat die uitdrukking vir f(x) slegs een waarde moet lewer wanneer dit vir enige waarde van x geëvalueer word. Dit is waar vir enige lineêre vergelyking. Maar as ons die vergelyking y oorweeg2 = 1-x2, vind ons dat daar altyd twee oplossings vir alle x binne 0 tot 1 is, met ander woorde, twee beelde word aan elke waarde van x binne sy reeks toegeken. Dit oortree die definisie van 'n funksie en kan dus nie 'n funksie genoem word nie.

Dit behoort duideliker uit die grafiek te lyk dat daar presies twee beelde van elke x is, aangesien 'n vertikale lyn wat op enige punt op die x-as getrek word, die grafiek op presies twee punte sal sny.

Funksieteorie: Grafiek van 'n funksie_3

So, dit bring ons by een belangrike gevolgtrekking dat nie alle vergelykings is funksies nie. En of 'n vergelyking 'n funksie is, kan geverifieer word deur die vertikale lyn toets, wat bloot 'n veranderlike vertikale lyn by elke punt op x-as voorstel en kyk of dit die grafiek by 'n enkele punt ontmoet.

Dit beantwoord ook 'n ander belangrike vraag, naamlik, hoe om te weet of 'n funksie een tot een is? Sekerlik, daardie antwoord is ook in die grafiek en kan deur die vertikale lyntoets geverifieer word.

Nou kan 'n mens vra of daar 'n manier is om dieselfde te vertel sonder om die grafiek te verkry of of dit algebraïes vertel kan word aangesien dit nie altyd maklik is om grafieke van funksies te teken nie. Wel, die antwoord is ja, dit kan eenvoudig gedoen word deur te toets f(a)=f(b) impliseer a=b. Dit wil sê dat selfs al neem f(x) dieselfde waarde vir twee waardes van x, dan kan die twee waardes van x nie verskillend wees nie. Kom ons neem 'n voorbeeld van die funksie

y=(x-1)/(x-2)

Soos 'n mens sou opmerk dat dit moeilik is om die grafiek van hierdie funksie te plot aangesien dit nie-lineêr van aard is en nie by die beskrywing van enige bekende kromme pas nie en boonop nie gedefinieer is by x=2 nie. Dus, hierdie probleem vereis beslis 'n ander benadering as die vertikale lyntoets.

So, ons begin deur te laat 

f(a)=f(b)

=> (a-1)/(a-2)=(b-1)/(b-2)

=>(a-1)(b-2)=(b-1)(a-2)

=>ab-2a-b+2=ab-2b-a+2

=> 2a+b=2b+a

=>2(ab)=(ab)             

Dit is slegs moontlik vir ab=0 of a=b

Dus, die funksie is inderdaad een tot een, en ons het dit bewys sonder om grafieke te maak.

Nou wil ons sien wanneer een of ander funksie hierdie toets misluk. Ons wil dalk die vergelyking van die sirkel wat ons voorheen getoets het, toets. Ons begin deur te skryf

f(a)=f(b)

f (x) = x2

=> a2=b2

a2 =b2

=> a=b of a=-b

Wat bloot beteken dat daar ander oplossings as a=b is, dus is f(x) nie 'n funksie nie.

IS DIT SO MOEILIK OM TE PLOT y=(x-1)/(x-2) ?

Ons gaan die grafiek van 'n funksie in baie meer besonderhede bespreek in die komende artikels, maar hier is dit nodig om vertroud te raak met die basiese beginsels van grafieke aangesien dit geweldig help met probleemoplossing. 'n Visuele interpretasie van 'n calculusprobleem maak die probleem dikwels baie maklik en om te weet hoe om 'n funksie te teken, is die sleutel tot 'n goeie visuele interpretasie.

Dus, om die grafiek van (x-1)/(x-2) te teken, ons begin deur 'n paar kritiese waarnemings te maak soos bv

1. Die funksie word 0 by x=1.

2. Die funksie word ongedefinieerd by x=2 .

3. Die funksie is oral positief behalwe vir 1

Omdat in hierdie interval (x-1) positief is en (x-2) negatief is, maak dit hul verhouding negatief.

4. Soos x na -∞ gaan, nader die funksie eenheid vanaf die onderkant, wat beteken dat dit naby 1 gaan maar altyd minder as 1 is.

Want vir x<0, (x-1)/(x-2) =(|x|+1)/(|x|+2)<1 as |x|+2>|x|+1

5. Soos x na +∞ gaan, nader die funksie eenheid vanaf die bokant, wat beteken dat dit naby 1 gaan maar altyd groter as 1 is.

6. Soos x vanaf die linkerkant na 2 gaan, gaan die funksie na -∞.

7. Soos x vanaf die regterkant na 2 gaan, gaan die funksie na +∞.

8. Die funksie neem altyd af vir x>2.

BEWYS:

Ons neem twee nabywaardes van x as (a, b) sodat (a, b) >2 en b>a

nou, f(b) – f(a)

=(b-1)/(b-2)-(a-1)/(a-2)

={(b-1)(a-2)-(a-1)(b-2)}/(a-2)(b-2)

=(ab)/{(a-2)(b-2)}

<0 as (ab)<0 vir b>a

en (a-2)(b-2)> 0 as (a, b)> 2

Dit impliseer f(b) 2, met ander woorde f(x) is streng afnemend vir x>2

  • 9. Die funksie neem altyd af vir x<2
  • BEWYS: dieselfde as voorheen. Ons laat dit vir jou oor om te probeer.

Die kombinasie van hierdie waarnemings maak die grafiek redelik maklik. Deur 4,9 en 6 te kombineer, kan ons sê dat as x van -∞ na 2 gaan, die spoor by eenheid begin en geleidelik val tot 0 raak by x=1 en verder val na -∞ by x=2. Weereens deur 7,5 en 8 te kombineer, is dit maklik om te sien dat as x van 2 na +∞ gaan, die spoor van +∞ begin val en aanhou om naby eenheid te kom en nooit regtig daaraan raak nie.

Dit laat die volledige grafiek lyk

Funksieteorie: Grafiek van 'n funksie_4

Nou word dit duidelik dat die funksie inderdaad een tot een is.

GEVOLGTREKKING

Tot dusver het ons die basiese beginsels van funksieteorie bespreek. Ons behoort nou duidelik te wees oor die definisies en tipes funksies. Ons het ook 'n bietjie idee gehad van grafiese interpretasie van funksies. Die volgende artikel sal baie meer besonderhede oor konsepte soos omvang en domein, inverse funksies, verskeie funksies en hul grafieke, en baie uitgewerkte probleme dek. Om dieper in die studie in te gaan, word jy aangemoedig om te lees

Calculus deur Michael Spivak.

Algebra deur Michael Artin.

Vir meer wiskunde artikel, asseblief kliek hier.

Onlangse plasings