Hoe om konstante versnelling met afstand en tyd te vind: probleme en voorbeelde


Die versnelling van 'n bewegende deeltjie kan beskryf word deur die tweede-orde afgeleide van afstand met betrekking tot tyd. Hierdie verhouding van afstand en tyd laat ons dink oor hoe om te vind konstante versnelling met afstand en tyd.

Konstante versnelling verwys na die konstante verandering in die beweging van die deeltjie. Aangesien ons die bespreek het konstante versnelling op die posisie-tyd grafiek, weet ons dat die paraboliese pad wat deur die deeltjie met tyd nagespoor word die konstante versnelling gee. In hierdie pos gaan ons leer hoe om konstante versnelling met afstand en tyd te vind.

Die posisie van die deeltjie waar dit geleë is voordat dit 'n pad begin volg en na 'n sekere tyd gee die posisie van dieselfde voorwerp die afstand wat die deeltjie aflê. Hierdie afstand wat deur die deeltjie oor tyd nagespeur word, gee die snelheid. Daarom moet ons 'n akkurate manier kies om die konstante versnelling te vind. As ons die lineêre afstand neem, kry ons die konstante snelheid; dus sal die versnelling nul wees.

Beeldkrediete: Beeld deur Michal Jarmoluk van Pixabay 

Hoe om konstante versnelling met afstand en tyd te vind?

Die afleiding van die konstante versnelling met afstand en tyd behels die kinematiese vergelykings. As die tweede-orde afgeleide van die afstand met betrekking tot tyd gee die versnelling, moet die afstand die funksie van 'n kwadratiese vorm wees.

Die afstand wat deur die deeltjie nagespoor word, stel die vergelyking op vir beide konstante en veranderlike versnelling in die kinematiese bewegingsvergelyking. Daarom, om die konstante versnelling te vind, moet ons aanneem dat die afstand wat die deeltjie aflê 'n paraboliese kromme is.

Om die konstante versnelling te vind, kom ons kyk na die eerste bewegingsvergelyking,

v=v0+by

Waar v die finale snelheid is, en v0 is die beginsnelheid.

Voeg nou v0 aan beide kante van die vergelyking en deel beide vergelykings deur 2; daarom kry ons

v+ v0/2 =(v+ v0 + by)

v+ v0/ 2=v0 +1/2 by

Van die algemene uitdrukking van snelheid,

v=∆x/ ∆t

∆x is die verandering in die posisie; dit kan geskryf word as ∆x=xx0

∆t is die verandering in tyd t.

Die verandering in posisie gee die vergelyking van gemiddelde snelheid, dus kan ons die vergelyking herskryf as

va = x- x0/ t

So kry ons die vergelyking van afstand as

x = x0+vat

Maar v + v0/2 = va; die gemiddelde snelheid

va =v0 + 1 / 2

Deur die waarde van va in die afstandsvergelyking te vervang,

x = x0 + v0 + 1/2 by2

Die uitdrukking hierbo is in die kwadratiese vorm, ons kan die bogenoemde vergelyking onderskei met betrekking tot t as

dv/dt =dvx0/dt +dv0/dt +1/2 tot 2t

Weereens onderskei die bogenoemde vergelyking,

d2x/dt2=d2x0/dt2+d2v0/dt2+ konstante

Uit die bogenoemde vergelyking, om konstante versnelling te kry

d2x/dt2= konstant

d2x0/dt2= konstant

d2v0/dt2=0

Hoe om konstante versnelling met snelheid en afstand te vind?

Die verband tussen die afstand wat deur die liggaam afgelê word en snelheid kan ons help om die konstante versnelling te vind. Die kromlynige beweging van die liggaam in 'n 2-dimensionele vlak gee die konstante verandering in die snelheid, en gee dus die konstante versnelling.

Vir konstante versnelling moet die verandering in snelheid uniform wees. Die kinematiese vergelyking kan die eenvormige verandering in snelheid met afstand gee. Die snelheid van 'n liggaam in 'n kromlynige baan word soos volg gegee.

Hoe om konstante versnelling met afstand en tyd saam met snelheid te vind

Vanuit die eerste kinetiese bewegingsvergelyking kan ons die tydonafhanklike vergelyking van snelheid en afstand oplos.

Die vergelyking word gegee deur v=v0+by

t=v – v0/ by

Die gemiddelde snelheid van die liggaam wie se aanvanklike snelheid v0 en eindsnelheid v is, kan deur die vergelyking uitgedruk word as

va=v + v0 /2

Die afstand word gegee deur

x = x0+vat

Deur die waarde van tyd en gemiddelde snelheid in die bogenoemde vergelyking te vervang, kry ons

x=x0+ (v + v0 /2 )/(v – v0/ a)

Die vergelyking vir afstand kan gegee word deur terme op te los en te herrangskik. Die vereiste vergelyking sal dus soos volg gegee word

x=x0 +v2 - v02 / 2a

2ax = 2ax0 + v2-v02

v2 =v02 + 2a(xx0)

Onderskei nou met betrekking tot t

dv/dt =dv0 / dt +2a dx/dt -dx0/dt

Aangesien dv/dt niks anders as die versnelling is nie,

Die faktor dx/dt -dx0/dt moet nie-nul funksie wees.

dv/dt en dv0 / dt moet 'n lineêre funksie van tyd wees om konstante versnelling te kry.

Nog 'n manier om die konstante versnelling met snelheid en afstand te vind, word hieronder gegee.

Uit die kinematiese bewegingsvergelyking kan die versnelling van die deeltjie geskryf word as

a=v – v0/t

Van die posisie-tyd-vergelyking vir snelheid, het ons

t = x – x0/t

Ons moet die gemiddelde snelheid oorweeg aangesien daar 'n konstante verandering in die snelheid van die deeltjie is met die tyd om die afstand x af te lê, en dus kan die gemiddelde snelheid geskryf word as

va = v+ v0/ 2

Dus word die tyd wat dit neem om die afstand te reis gegee deur

t=xx0/ (v+ v0/ 2)

Deur die waarde van t in versnellingsvergelyking te vervang, kry ons

a=v- v0/ [2x-x0/ (v+ v0)]

Herrangskik die terme wat ons kry

a=v+v0/ v- v0(2x-x0)

Die oplossing van die bogenoemde vergelyking kry ons

a=v2 - v02/ 2(x/x0)

Dit gee die vergelyking vir konstante versnelling met snelheid en afstand.

Voorbeeld probleme oor hoe om konstante versnelling met afstand en tyd te vind.

Die konsepte wat in die bogenoemde afdelings bespreek word, kan maklik verstaan ​​word deur die voorbeeldprobleme wat in hierdie afdeling gegee word op te los.

Probleem 1) 'n Motor beweeg teen 'n sekere spoed, wat gegee word deur die afstand as 'n funksie van tyd. Kontroleer of die versnelling konstant is of nie en vind die snelheid van die motor by t=9 sekondes. Die funksie word gegee as X(t)=4t2-7t+12.

Oplossing:

Die afstand wat deur die liggaam afgelê word, word gegee as die funksie van tyd as

X(t)=4t2-7t+12

Onderskei met respek tyd, kry ons

dx/dt =4(2t)-7+0

Om weer te onderskei ten opsigte van t, kry ons

d2x/dt2= 8-0

Aangesien die tweede-orde afgeleide van afstand met tyd die versnelling is, en die verkryde waarde 'n konstante getal is, is die versnelling konstant op die pad wat deur die motor nagespoor word. En sy versnelling is 8m/s2.

Om die snelheid te vind, weet ons dit

dx/dt = v

v = 8t-7

Op tyd t=9 sekondes word die snelheid van die motor gegee deur

v = 8(9)-7

v = 65 m/s.

Probleem 2) 'n Bal beweeg aanvanklik met die snelheid van 4 m/s wanneer dit gemeet word op die posisie van 6 meter vanaf die oorsprong. Dieselfde beweeg nou met 'n snelheid van 7 m/s, en sy posisie is 15 meter. Hoe om die konstante versnelling met afstand en tyd saam met die snelheid van die bal te vind.

Oplossing:

Data verskaf vir die berekening – beginsnelheid van bal v0 = 4m/s.

Finale snelheid van die bal v = 7m/s.

Die posisie van die bal wanneer sy aanvanklike snelheid gemeet word x0 = 6m.

Die posisie van die bal wanneer sy finale snelheid gemeet word x = 15m.

Die konstante versnelling van die bal word gegee deur

a=v2 - v02/ 2 (xx0)

a=33/18

a = 1.83 m/s2.

Probleem 3) 'n Renjaer bestuur die motor met 'n aanvanklike spoed van 33 m/s en dek 'n afstand van 99 meter binne 22 sekondes. Bereken die konstante versnelling van die motor.

Oplossing:

Data benodig vir die berekening – Aanvanklike snelheid van die motor v0 = 33m/s.

Afstand wat deur die motor afgelê word x = 99m.

Tyd wat die motor neem om die gegewe afstand af te lê t = 22s.

Die kinematiese vergelyking vir die gegewe data is

x=x0 + v0 + 1/2 by2

In hierdie probleem is ons nie voorsien van die aanvanklike posisie van die motor nie, en daarom neem ons aan dat die aanvanklike posisie van die motor nul is. Daarom kan die vergelyking gewysig word as

x=v0 + 1/2 by2

Deur die gegewe waardes te vervang, kry ons

99=33+1/2 a(222)

99-33=242(a)

a = 0.27 m/s2.

Probleem 4) die gemete snelheid van 'n deeltjie is 7 m/s op die posisie van 12 meter. Die snelheid van dieselfde deeltjie word gemeet op 'n afstand van 39 meter as 11 m/s. Vind die versnelling.

Oplossing:

Die snelheid van die deeltjie v1 = 7m/s.

Die snelheid van dieselfde deeltjie v2 = 11m/s.

Die posisie van die deeltjie teen snelheid v1 is x1 = 12m.

Die posisie van die deeltjie teen snelheid v2 is x2 = 39m.

Die versnelling van die deeltjie word gegee deur

a=v2 - v0/ (2(xx0))

a = 112-72/ 2(39-12)

a = 1.333 m/s2.

Probleem 5) Hoe om konstante versnelling met afstand en tyd te vind, as die gegewe funksie van die vorm x(t)= 8t is2+12t+4 en vind dus die aanvanklike afstand t=0 en finale afstand by t=4 sekondes en vind dus die snelheid.

Oplossing:

Die gegewe vergelyking is die tydafhanklike funksie, om konstante versnelling te differensieer met betrekking tot tyd t

dx/dt =8(2t)+12+0

dx/dt =16t+12

Om weer te onderskei ten opsigte van t

d2x/dt2 =16+0 = 16

Uit die bogenoemde vergelyking is die versnelling konstant en die versnelling is 16 m/s2.

Die afstand by t=0 is x(t)= 8t2+12t+4

X(0)=8(0)+12(0)+4

X(0)=4

Aanvanklike posisie is 4 meter.

Die afstand t=4 is

X(4)= 8(4)+12(4)+4

X(4)=84

Die snelheid word gegee deur

v=x – x0/ t-t0

v=84-4/ 4-0

v = 20 m/s.

Probleem 6) Vind die konstante versnelling van die funksie x(t)=3t3+9t2+3t+6.

Oplossing:

Die funksie word gegee as

x(t)=3t3+9t2+3t+6

Onderskei mbt t

dx/dt =8(3t2)+9(2t)+3+0

dx/ dt t=24t2+18t+3

Weer differensieer

d2x/dt2 t=48t+18

a = 48t+18 m/s2.

Die versnelling is nie konstant in die gegewe vergelyking nie. Die pad wat deur die gegewe funksie nagespoor word, is nie kromlynig nie, en daar is 'n fluktuasie in die snelheid. Dus is versnelling veranderlik in die gegewe funksie.

Keerthi Murthi

Ek is Keerthi K Murthy, ek het nagraadse studie in Fisika voltooi, met die spesialisasie in die veld van vastestoffisika. Ek beskou fisika nog altyd as 'n fundamentele vak wat aan ons daaglikse lewe gekoppel is. As 'n wetenskapstudent geniet ek dit om nuwe dinge in fisika te verken. As skrywer is my doel om die lesers op die vereenvoudigde wyse deur my artikels te bereik. Bereik my – keerthikmurthy24@gmail.com

Onlangse plasings