Gammaverspreiding Eksponensiële Familie: 21 Belangrike Feite


inhoud

  1. Spesiale vorm van Gamma-verspreidings en verwantskappe van Gamma-verspreiding
  2. Gamma verspreiding eksponensiële familie
  3. Verwantskap tussen gamma- en normaalverspreiding
  4. Poisson gamma verspreiding | gif gamma verspreiding negatiewe binomiaal
  5. Weibull gamma verspreiding
  6. Toepassing van gammaverspreiding in die werklike lewe | gamma verspreiding gebruik | toepassing van gammaverspreiding in statistiek 
  7. Beta gamma verspreiding | verband tussen gamma- en beta-verspreiding
  8. Tweeveranderlike gamma verspreiding
  9. Dubbele gamma verspreiding
  10. Verwantskap tussen gamma en eksponensiële verspreiding | eksponensiële en gamma verspreiding | gamma eksponensiële verspreiding
  11. Pas gamma verspreiding
  12. Verskuifde gamma verspreiding
  13. Afgekapte gamma verspreiding
  14. Oorlewingsfunksie van gammaverspreiding
  15. MLE van gamma verspreiding | maksimum waarskynlikheid gamma verspreiding | waarskynlikheidsfunksie van gammaverspreiding
  16. Gamma verspreiding parameter skatting metode van momente | metode van momente beramer gamma verspreiding
  17. Vertrouensinterval vir gammaverspreiding
  18. Gamma-verspreiding vervoeg voor eksponensiële verspreiding | gamma-voorverspreiding | posterior verspreiding gif gamma
  19. Gamma verspreiding kwantiel funksie
  20. Algemene gamma verspreiding
  21. Beta algemene gamma verspreiding

Spesiale vorm van Gamma-verspreidings en verwantskappe van Gamma-verspreiding

  In hierdie artikel sal ons die spesiale vorme van gamma-verspreidings en die verwantskappe van gamma-verspreiding met verskillende kontinue en diskrete ewekansige veranderlikes bespreek, ook 'n paar skattingsmetodes in steekproefneming van populasie met behulp van gammaverspreiding word kortliks bespreek.

Gamma verspreiding eksponensiële familie

  Die gammaverspreiding eksponensiële familie en dit is twee parameter eksponensiële familie wat grootliks en toepaslike familie van verspreiding is aangesien die meeste van die werklike lewe probleme gemodelleer kan word in die gamma verspreiding eksponensiële familie en die vinnige en nuttige berekening binne die eksponensiële familie kan maklik gedoen word, in die twee parameter as ons neem waarskynlikheid digtheid funksie as

[latex]\frac{e^{-\lambda /x}x^{\alpha -1}}{\lambda ^{\alpha }\Gamma (\alpha )}I_{x}> 0[/latex]

as ons die bekende waarde van α (alfa) beperk, sal hierdie twee parameterfamilie tot een parameter eksponensiële familie verminder

[latex]f(x/\lambda )=e^{-\lambda /x}-a \ \ log\lambda \frac{x^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha) }I_{x }> 0[/latex]

en vir λ (lambda)

[latex]f(x|\alpha )=e^{\alpha logx -a(log\lambda)}- log{\Gamma(\alpha)} e^{-\frac{x}{\lambda }}I_ {x}> 0[/latex]

Verwantskap tussen gamma- en normaalverspreiding

  In die waarskynlikheidsdigtheidfunksie van gammaverspreiding as ons alfa nader aan 50 neem, sal ons die aard van digtheidsfunksie kry as

Gamma verspreiding eksponensiële familie
Gamma verspreiding eksponensiële familie

selfs die vormparameter in gammaverspreiding neem ons toe, wat lei tot ooreenkoms van normaalverspreiding normale kromme, as ons neig vorm parameter alfa neig na oneindig sal die gammaverspreiding meer simmetries en normaal wees, maar aangesien alfa neig na oneindig waarde van x in gamma verspreiding sal neig na minus oneindigheid wat lei tot semi oneindige ondersteuning van gamma verspreiding oneindig, dus word selfs gamma verspreiding simmetries maar nie dieselfde met normale verspreiding nie.

gif gamma verspreiding | gif gamma verspreiding negatiewe binomiaal

   Die gif-gamma-verspreiding en binomiale verspreiding is die diskrete ewekansige veranderlike waarvan die ewekansige veranderlike handel oor die diskrete waardes spesifiek sukses en mislukking in die vorm van Bernoulli proewe wat slegs ewekansige sukses of mislukking as 'n resultaat gee, nou is die mengsel van Poisson en gamma verspreiding ook bekend as negatiewe binomiale verspreiding is die uitkoms van die herhaalde proef van Bernoulli se proef, dit kan op verskillende maniere geparameteriseer word asof r-de sukses in aantal proewe plaasvind, dan kan dit geparameteriseer word as

[latex]P(X_{1}=x|p,r)=\binom{x-1}{r-1}p^{r}(1-p)^{xr}[/latex]

en as die aantal mislukkings voor die r-de sukses dan kan dit parameteriseer as

[latex]P(X_{2}=x|p,r)=\binom{x+r-1}{x}p^{r}(1-p)^{x}[/latex]

en met inagneming van die waardes van r en p

[latex]r=\frac{\mu^{2}}{\sigma ^{2}-\mu}[/latex]

[latex]p=\frac{r}{r+\mu}[/latex]

die algemene vorm van die parameterisering vir die negatiewe binomiaal of gif gamma verspreiding is

[latex]P(X=x)=\binom{x+r-1}{x}p^{r}(1-p)^{x} \ \ x=0,1,2,…[/latex ]

en alternatiewe een is

[latex]P(X=x)=\binom{x+r-1}{x} \left ( \frac{\alpha }{\alpha +1} \right )^{r} \left ( \frac{ 1}{\alpha +1} \right )^{x} \ \ x=0,1,2,…[/latex]

hierdie binomiale verspreiding staan ​​bekend as negatief vanweë die koëffisiënt

[latex]\binom{x+r-1}{x} =\frac{(x+r-1)(x+r-2)....r}{x!} \ = (-1)^{x }\frac{(-r-(x-1))(-r-(x-2))…..(-r)}{x!} \ = (-1)^{x}\frac{( -r)(-r-1)…. -r-(x-1))}{x!} \ =(-1)^{x}\binom{-r}{x}[/latex]

en hierdie negatiewe binomiaal of gif gamma verspreiding is goed gedefinieer as die totale waarskynlikheid wat ons as een vir hierdie verspreiding sal kry

[latex]1=p^{r}p^{-r} \ =p^{r}(1-q)^{-r} \ =p^{r} \sum_{0}^{\infty} \binom{-r}{x}(-q)^{x} \ =p^{r} \sum_{0}^{\infty} (-1)^{x} \binom{-r}{x }(q)^{x} \ =\som_{0}^{\infty} \binom{x+r-1}{x}p^{r}q^{x} \[/latex]

Die gemiddelde en variansie vir hierdie negatiewe binomiale of gif-gamma-verspreiding is

[latex]E(X)=\frac{r(1-p)}{p}[/latex]

[latex]var(X)=\frac{r(1-p)}{p^{2}}[/latex]

die gif- en gammaverhouding wat ons kan kry deur die volgende berekening

[latex]P(X=x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha) \beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{-\lambda } \lambda ^{x}}{x!}\lambda ^{\alpha -1}e^{-\lambda /\beta } d\lambda[/latex]

[latex]=\frac{1}{x!\Gamma (\alpha)\beta ^{\alpha }}\int_{0}^{\infty}\lambda ^{\alpha +x-1}e^{ -\lambda (1+1/\beta )}d\lambda[/latex]

[latex]=\frac{1}{\Gamma (x+1)\Gamma (\alpha )\beta ^{\alpha }} \Gamma (\alpha +x)\left ( \frac{\beta }{\ beta +1} \right )^{\alpha +x}[/latex]

[latex]=\binom{\alpha +x-1}{x}\left ( \frac{1}{\beta +1} \right )^{\alpha } \left ( 1-\frac{1}{ \beta +1} \right )^{x}[/latex]

Negatiewe binomiaal is dus die mengsel van gif- en gammaverspreiding en hierdie verspreiding word gebruik in dag-tot-dag probleemmodellering waar diskrete en kontinue mengsel ons benodig.

Gamma verspreiding eksponensiële familie
Gamma verspreiding eksponensiële familie

Weibull gamma verspreiding

   Daar is veralgemening van eksponensiële verspreiding wat Weibull sowel as gammaverspreiding behels aangesien die Weibull-verspreiding die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie het as

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \ 0 & x \leq v \ \\ \frac{\beta }{\alpha}\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{ \beta -1} exp{{ -\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{\beta }}} &\ x > v \end{gevalle}[/latex]

en kumulatiewe verspreiding funksie as

[latex]F(x) = \begin{gevalle} \ 0 &\ x \leq v \\ \ 1- exp { -\left ( \frac{xv}{\alpha } \right )^{\beta } } & \ x > v \end{gevalle}[/latex]

waar as pdf en cdf van gammaverspreiding reeds is, het ons hierbo bespreek die hoofverbinding tussen Weibull en gammaverspreiding is beide veralgemening van eksponensiële verspreiding die verskil tussen hulle is wanneer krag van veranderlike groter as een is dan gee Weibull verspreiding vinnige resultaat terwyl vir minder as 1 gamma gee vinnige resultaat.

     Ons sal nie hier algemene Weibull-gammaverspreiding bespreek wat aparte bespreking vereis nie.

toepassing van gammaverspreiding in die werklike lewe | gamma verspreiding gebruik | toepassing van gammaverspreiding in statistiek 

  Daar is 'n aantal toepassings waar gamma-verspreiding gebruik word om die situasie te modelleer, soos versekeringseis om saam te voeg, reënvalbedrag ophoping, vir enige produk die vervaardiging en verspreiding daarvan, die skare op spesifieke web, en in telekommunikasie-uitruil, ens. eintlik gee die gamma-verspreiding die wagtyd voorspelling tot volgende geleentheid vir nde geleentheid. Daar is 'n aantal toepassings van gamma verspreiding in die werklike lewe.

beta gamma verspreiding | verband tussen gamma- en beta-verspreiding

    Die beta-verspreiding is die ewekansige veranderlike met die waarskynlikheidsdigtheidfunksie

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \ \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1} &\ 0< x < 1 \\ \ 0 &\ anders \end{gevalle}[/latex]

waar

[latex]B(a,b)= \int_{0}^{1}x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx[/latex]

wat die verwantskap met gammafunksie het as

[latex]B(a,b)= \frac{\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}[/latex]

en betaverspreiding wat verband hou met gammaverspreiding asof X gammaverspreiding is met parameter alfa en beta as een en Y die gammaverspreiding is met parameter alfa as een en beta dan is die ewekansige veranderlike X/(X+Y) betaverspreiding.

of As X Gamma(α,1) is en Y Gamma (1, β) is, dan is die ewekansige veranderlike X/(X+Y) Beta (α, β) 

en ook

[latex]\mathbf{\lim_{n \tot \infty} nB(k,n) =\Gamma (k,1)}[/latex]

tweeveranderlike gamma verspreiding

     'n Tweedimensionele of tweeveranderlike ewekansige veranderlike is kontinu as daar 'n funksie f(x,y) bestaan ​​sodat die gesamentlike verspreidingsfunksie

[latex]F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\left [ \int_{-\infty}^{y}f(u,v) dv \right ]du[/latex]

waar

[latex]F(+\infty,+\infty)=\lim_{x \to +\infty, y \to +\infty} \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^ {y} f(u,v)dvdu[/latex]

[latex]= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} f(u,v)dvdu =1[/latex]

en die gesamentlike waarskynlikheid digtheid funksie verkry deur

[latex]\frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x \partial y }= f(x,y)[/latex]

daar is aantal tweeveranderlike gamma verspreiding een van hulle is die tweeveranderlike gamma verspreiding met waarskynlikheid digtheid funksie as

[latex]f(x,y)=\frac{\beta ^{\alpha +\gamma }}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\gamma )}x^{\alpha -1}(yx)^ {\gamma -1}e^{-\beta y}, \ \ 0< x 0[/latex]

dubbele gamma verspreiding

  Dubbel gamma verspreiding is een van die tweeveranderlike verspreiding met gamma ewekansige veranderlikes met parameter alfa en een met gesamentlike waarskynlikheid digtheid funksie as

[latex]f_{Y_{1}{Y_{2}}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{\Gamma (\alpha {1})\Gamma (\alfa {2})}y_{1}^{\alpha_{1} -1}y_{2}^{\alpha_{2} -1} exp(-y_{1} -y_{2}), y_{1 }> 0, y_{2}> 0[/latex]

hierdie digtheid vorm die dubbelgammaverspreiding met onderskeie ewekansige veranderlikes en die momentgenererende funksie vir dubbelgammaverspreiding is

[latex]\mathbf{M_{Y_{1}Y_{2}(t,s)}=\left ( \frac{1}{1-t} \right )^{\alpha {1}} \left (\frac{1}{1-s} \right )^{\alpha {2}} }[/latex]

verband tussen gamma en eksponensiële verspreiding | eksponensiële en gamma verspreiding | gamma eksponensiële verspreiding

   aangesien die eksponensiële verdeling die verdeling met die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie is

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \ \lambda e^{-\lambda x} &\ if \ \ x\geq 0 \ \ 0 &\ \ \ if x< 0 \end{gevalle}[ /latex]

en die gammaverspreiding het die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie

[latex]f(x) = \begin{gevalle} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \ 0 &\ x < 0 \end{gevalle}[/latex]

duidelik die waarde van alfa as ons as een plaas sal ons die eksponensiële verspreiding kry, dit wil sê die gamma verspreiding is niks anders as die veralgemening van die eksponensiële verspreiding nie, wat die wagtyd voorspel tot die voorkoms van die volgende nde gebeurtenis terwyl eksponensiële verspreiding die wag voorspel tyd tot die plaasvind van die volgende gebeurtenis.

pas gamma verspreiding

   So ver as die passing van die gegewe data in die vorm van gamma verspreiding impliseer die vind van die twee parameter waarskynlikheidsdigtheid funksie wat vorm, ligging en skaal parameters behels so vind hierdie parameters met verskillende toepassings en die berekening van die gemiddelde, variansie, standaardafwyking en moment genererende funksie is die passing van gamma verspreiding, aangesien verskillende werklike probleme in gammaverspreiding gemodelleer sal word, dus moet die inligting volgens situasie in gammaverspreiding gepas wees vir hierdie doel verskeie tegnieke in verskillende omgewings is reeds daar bv in R, Matlab, Excel ens.

verskuifde gamma verspreiding

     Daar is soos per toepassing en behoefte wanneer die vereiste van die verskuiwing van die verspreiding vereis vanaf twee parameter gammaverspreiding die nuwe veralgemeende drie parameter of enige ander algemene gammaverspreiding die vormligging en skaal verskuif, sulke gammaverspreiding staan ​​bekend as verskuifde gammaverspreiding

afgekapte gamma verspreiding

     As ons die omvang of domein van die gammaverspreiding vir die vormskaal en liggingparameters beperk, staan ​​die beperkte gammaverspreiding bekend as afgeknotte gammaverspreiding gebaseer op die toestande.

oorlewingsfunksie van gamma verspreiding

                Die oorlewingsfunksie vir die gammaverspreiding word die funksie s(x) soos volg gedefinieer

[latex]S(x)=1-\frac{\Gamma_{x} (\gamma)}{\Gamma (\gamma)} \\x\geq 0 ; \gamma > 0 \ waar \ \ \Gamma_{x}(a) =\int_{0}^{x} t^{a-1}e^{-t} dt[/latex]

ml van gamma verspreiding | maksimum waarskynlikheid gamma verspreiding | waarskynlikheidsfunksie van gammaverspreiding

ons weet dat die maksimum waarskynlikheid die steekproef uit die populasie as 'n verteenwoordiger neem en hierdie steekproef beskou as 'n beramer vir die waarskynlikheidsdigtheidfunksie om te maksimeer vir die parameters van digtheidsfunksie, voordat ons na gammaverspreiding gaan, onthou 'n paar basiese beginsels soos vir die ewekansige veranderlike X die waarskynlikheidsdigtheidfunksie met theta as parameter het waarskynlikheidsfunksie as

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =f_{\theta }(x_{1}, x_{2},……x_{n}) ,[/latex]

dit kan ons uitdruk as

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =\prod_{i=1}^{n}f\theta (x_{i})[/latex ]

en metode van die maksimalisering van hierdie waarskynlikheid funksie kan wees

[latex]L(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =sup_{(\theta \in \theta )} L(\theta ; x_{1},x_{ 2},…….x_{n})[/latex]

as sodanige theta aan hierdie vergelyking voldoen, en aangesien log eentonige funksie is, kan ons in terme van log skryf

[latex]logL(\theta ; x_{1},x_{2},…….x_{n}) =sup_{(\theta \in \theta )} log L(\theta ; x_{1},x_ {2},…….x_{n})[/latex]

en so 'n oppergesag bestaan ​​as

[latex]{\frac{\partial logL(\hat{\theta; x_{1}…..x_{n} }) }{\partial \theta_{j} }}=0, \\ j=1,2, XNUMX,…k, \ \ \theta =(\theta {1}, …..\theta {k})[/latex]

nou pas ons die maksimum waarskynlikheid toe vir die gammaverspreidingsfunksie as

[latex]f(x | \alpha ,\beta )=\prod_{i=1}^{n}f(x_{i} | \alpha ,\beta )=\left ( \frac{\beta ^{\ alfa }}{\Gamma (\alpha )} \right )^{n}\prod_{i=1}^{n}x_{i}^{\alpha -1} exp(-\beta x_{i}) \propto \beta ^{n\alpha } exp\left ( -\beta \sum_{i=1}^{n}x_{i} \right )[/latex]

die log waarskynlikheid van die funksie sal wees

[latex]\imath (\beta | \alpha ,x) \propto n\alpha log\beta -\beta n \bar{x} \propto \alpha log\beta – \bar{x} \beta[/latex]

so is

[latex]0=\frac{\partial l}{\partial \beta } =\frac{\alpha }{\beta} -\bar{x},[/latex]

en vandaar

[latex]\hat{\beta }= \frac{\alpha }{\bar{x}}[/latex]

Dit kan ook bereik word as

[latex]\textbf{L}(\alpha ,\beta | x)=\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} x_{1}^{\alpha -1 } e^{-\beta x_{1}} \right )……..\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} x_{n}^{\alpha - 1} e^{-\beta x_{n}} \right ) =\left ( \frac{\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )} \right)^{n} (x_{1 } (x_{2}……(x_{n})^{\alpha -1} e^{-\beta }(x_{1}+x_{2}+……x_{n})[/latex]

by

[latex]In\textbf{L}(\alpha ,\beta | x)=n(\alpha In\beta -In\Gamma (\alpha ))+(\alpha -1)\som_{i=1}^ {n} Inx_{i} -\beta \sum_{i=1}^{n}x_{i}[/latex]

en die parameter kan verkry word deur te differensieer

[latex]\frac{\partial }{\partial \alpha }In\textbf{L}(\hat{\alpha }, \hat{\beta } |x)=n(In\hat{\beta}-\ frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha } In\Gamma (\hat{\alpha }))+\sum_{i=1}^{n} x_{i}=0[/latex ]

[latex]\frac{\partial }{\partial \beta}In\textbf{L}(\hat{\alpha }, \hat{\beta} |x)=n \frac{\hat{\alpha }} {\hat{\beta }} -\sum_{i=1}^{n}x_{i}=0 \ \ of \ \ \bar{x}=\frac{\hat{\alpha }}{\hat {\beta }}[/latex]

[latex]n(In \hat{\alpha } -In\hat{x} -\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \alpha } In\Gamma (\hat{\alpha }) ) +\sum_{i=1}^{n} Inx_{i}=0[/latex]

gamma verspreiding parameter skatting metode van momente | metode van momente beramer gamma verspreiding

   Ons kan die momente van die populasie en steekproef bereken met behulp van verwagting van onderskeidelik nde orde, die metode van moment stel hierdie verspreidingsmomente en steekproef gelyk om die parameters te skat, veronderstel ons het steekproef van gamma-toevalsveranderlike met die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie as

[latex]f(x|\alpha ,\lambda )=\frac{\lambda ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x} , \ \ x\geq 0[/latex]

ons weet die eerste sleepmomente vir hierdie waarskynlikheidsdigtheidfunksie is

[latex]\mu {1}=\frac{\alpha }{\lambda } \ \ \ \mu {2}=\frac{\alpha (\alpha +1) }{\lambda ^{2}}[/latex]

so

[latex]{\lambda } =\frac{\alpha}{\mu _{1}}[/latex]

ons sal van die tweede oomblik af kry as ons lambda vervang

[latex]\frac{\mu {2}}{\mu {1}^{2}}=\frac{\alpha +1}{\alpha }[/latex]

en van hierdie waarde van alfa is

[latex]\alpha=\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu _{1}^{2}}[/latex]

en nou sal lambda wees

[latex]\lambda =\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu {1}^{2}} \frac{1}{\mu {1}} \ \ \ \ \ =\frac{\mu {1}^{2}}{\mu {2}-\mu _{1}^{2}}[/latex]

en momentberamer met behulp van monster sal wees

[latex]\hat{\lambda }=\frac{\bar{X}}{\hat{\sigma }^{2}}[/latex]

vertrouensinterval vir gamma verspreiding

   vertrouensinterval vir gamma verspreiding is die manier om die inligting en sy onsekerheid te skat wat sê dat die interval na verwagting die ware waarde van die parameter sal hê teen watter persentasie, hierdie vertrouensinterval word verkry uit die waarnemings van ewekansige veranderlikes, aangesien dit verkry word vanaf ewekansig dit self is ewekansig om die vertrouensinterval vir die gammaverspreiding te kry, daar is verskillende tegnieke in verskillende toepassings wat ons moet volg.

gammaverspreiding konjugaat voor eksponensiële verspreiding | gamma-voorverspreiding | posterior verspreiding gif gamma

     Die posterior en voorafgaande verspreiding is die terminologieë van Bayesian waarskynlikheidsleer en hulle is gekonjugeer aan mekaar, enige twee verdelings is gekonjugeer as die posterior van een verdeling 'n ander verdeling is, in terme van theta laat ons wys dat gamma verdeling gekonjugeer is voor die eksponensiële verdeling

as die waarskynlikheid digtheid funksie van gamma verspreiding in terme van theta is as

[latex]f_{\Theta }(\theta )=\frac{\beta ^{\alpha }\theta ^{\alpha -1}e^{-\beta \theta }}{\Gamma (\alpha )} [/latex]

aanvaar dat die verspreidingsfunksie vir theta eksponensieel is vanaf gegewe data

[latex]f_{X_{i}|\Theta }(x_{i}|\theta )=\theta e^{-\theta x_{i}}[/latex]

dus sal die gesamentlike verspreiding wees

[latex]f(X|\Theta )=\theta^{n} e^{-\theta \som x_{i}}[/latex]

en die gebruik van die verhouding

[latex]\textbf{Posterior} \propto \textbf{Waarskynlikheid} \ \ X \ \ \textbf{Voorheen}[/latex]

ons het

[latex]f_{\Theta |X}(\theta |x) \propto \theta ^{n}e^{-\theta \som x_{i}} x \theta ^{\alpha -1}e^{ -\beta \theta }[/latex]

[latex]=\theta ^{n +\alpha -1} e^{-\theta (\som x_{i} + \beta )}[/latex]

[latex]\dus \theta| X \sim \textbf{Gamma}(n+\alpha , \sum x_{i} +\beta )[/latex]

wat

[latex]f\Lambda | X (\lambda |x) \propto \lambda ^{\som x_{i}+\alpha -1} e^{-(n+\beta )\lambda }[/latex]

dus is gammaverspreiding gekonjugeerd voor eksponensiële verspreiding aangesien posterior gammaverspreiding is.

gamma verspreiding kwantiel funksie

   Qauntiele funksie van gamma verspreiding sal die funksie wees wat die punte in gamma verspreiding gee wat die rangorde van die waardes in gamma verspreiding in verband bring, dit vereis kumulatiewe verspreiding funksie en vir verskillende taal verskillende algoritmes en funksies vir die kwantiel van gamma verspreiding.

algemene gamma verspreiding

    Aangesien gammaverspreiding self die veralgemening van eksponensiële verspreidingsfamilie is deur meer parameters by hierdie verspreiding te voeg, gee ons algemene gammaverspreiding wat die verdere veralgemening van hierdie verspreidingsfamilie is, gee die fisiese vereistes verskillende veralgemening een van die gereelde een is die gebruik van die waarskynlikheidsdigtheidfunksie as

[latex]f(x)=\frac{(\frac{x-\mu }{\beta})^{\gamma -1} exp (-\frac{x-\mu }{\beta })}{ \beta \Gamma (\gamma )} \ \ x\geq \mu ;\gamma ,\beta > 0[/latex]

die kumulatiewe verspreidingsfunksie vir sodanige veralgemeende gammaverspreiding kan verkry word deur

[latex]F(x)=\frac{\Gamma _{x}(\gamma )}{\Gamma (\gamma )} \ \ x\geq 0, \gamma > 0[/latex]

waar die teller die onvolledige gammafunksie as verteenwoordig

[latex]\Gamma {x}(a)=\int{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt[/latex]

met behulp van hierdie onvolledige gammafunksie kan die oorlewingsfunksie vir die veralgemeende gammaverspreiding verkry word as

[latex]S(x)=1-\frac{\Gamma _{x}(\gamma )}{\Gamma (\gamma )} \\x\geq 0, \gamma >0[/latex]

'n ander weergawe van hierdie drie parameter veralgemeende gamma verspreiding met waarskynlikheid digtheid funksie is

[latex]f(t)=\frac{\beta }{\Gamma (k)\theta } \left ( \frac{t}{\theta} \right )^{k\beta -1} e^{- \left ( \frac{t}{\theta } \right )^{\beta }}[/latex]

waar k, β, θ die parameters groter as nul is, het hierdie veralgemening konvergensieprobleme om die Weibull-parameters te oorkom

[latex]\mu =In(\theta )+\frac{1}{\beta } . In\left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right ) \ \ \ \sigma =\frac{1}{\beta \sqrt{k}} \ \ \ \lambda =\frac{1 }{\sqrt{k}} \ \ \ Waar \ \ -\infty< \mu 0 , 0< \lambda[/latex]

deur hierdie parameterisering te gebruik, word die konvergensie van die digtheidsfunksie verkry, dus die meer veralgemening vir die gammaverspreiding met konvergensie is die verspreiding met waarskynlikheidsdigtheidsfunksie as

[latex]F(x) = \begin{gevalle}
\frac{|\lambda |}{\sigma .t}.\frac{1}{\Gamma \left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right )}.e\left [ \frac {\lambda .\frac{In(t)-\mu }{\sigma }+In\left ( \frac{1}{\lambda ^{2}} \right )-e^{\lambda.\frac{ In.(t)-\mu }{\sigma }} }{\lambda ^{2}} \right ] &\text{if } \lambda \neq 0
\\
\frac{1}{t.\sigma \sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{1}{2}\left ( \frac{In(t)-\mu }{\sigma } \right )^{2}} &\text{if } \lambda =0
\end{gevalle}[/latex]

Beta algemene gamma verspreiding

   Die gammaverspreiding wat die parameter beta in die digtheidsfunksie betrek, waardeur soms gammaverspreiding bekend staan ​​as die beta-veralgemeende gammaverspreiding met die digtheidsfunksie

[latex]g_{\beta ,\gamma ,c}(x)=\frac{c\lambda ^{c\beta }}{\Gamma (\beta )}x^{c\beta -1}exp\left { -(\lambda x)^{c} \right }, \ \ x> 0[/latex]

met kumulatiewe verspreidingsfunksie as

[latex]G_{\beta ,\gamma ,c}(x)=\frac{\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c})}{\Gamma (\beta )},[/latex]

wat reeds breedvoerig in die bespreking van gammaverspreiding bespreek is, word die verdere beta veralgemeende gammaverspreiding met die cdf gedefinieer as

[latex]F(x)=I_{G}(x)(a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\int_{0}^{G(x)}\omega ^{ a-1}(1-\omega )^{b-1}d\omega ,[/latex]

waar B(a,b) die beta-funksie is, en die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie hiervoor kan verkry word deur differensiasie en die digtheidsfunksie sal wees

[latex]f(x)=\frac{g(x)}{B(a,b)}G(x)^{a-1}\left { 1-G(x) \right }^{b- 1}[/latex]

hier is die G(x) die bogenoemde kumulatiewe verspreiding funksie van gammaverspreiding, as ons hierdie waarde stel, dan is die kumulatiewe verspreidingsfunksie van beta-veralgemeende gammaverspreiding

[latex]F(x)=I_{\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c})/\Gamma (\beta )}(a,b)=\frac{1}{B(a, b)}\int_{0}^{{\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c})/\Gamma (\beta )}}\omega ^{a-1} (1-\omega) ^{b-1} d\omega[/latex]

en die waarskynlikheidsdigtheidfunksie

[latex]f(x)=\frac{c\lambda ^{c\beta }x^{c\beta -1}exp\left { -(\lambda x)^{c} \right }\gamma (\ beta ,(\lambda x)^{c})^{a-1}\left { \Gamma (\beta )-\gamma (\beta ,(\lambda x)^{c}) \right }^{b -1}}{B(a,b)\Gamma (\beta )^{a+b-1}}[/latex]

die oorblywende eienskappe kan uitgebrei word vir hierdie beta veralgemeende gamma verspreiding met gewone definisies.

Gevolgtrekking:

Daar is verskillende vorme en veralgemening van gamma verspreiding en Gamma verspreiding eksponensiële familie volgens die werklike situasies so moontlik is sulke vorme en veralgemenings gedek bykomend met die skattingsmetodes van gamma verspreiding in populasie steekproefneming van inligting, as jy verdere lees oor Gamma verspreiding eksponensiële familie verlang, gaan asseblief deur die onderstaande skakel en boeke. Vir meer onderwerpe oor Wiskunde besoek asseblief ons bladsy.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek dra graag by tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings