Diskrete ewekansige veranderlike en wiskundige verwagting: 5 feite


Diskrete ewekansige veranderlike en wiskundige verwagting

Gewoonlik stel ons nie belang in al die moontlike uitkoms van enige ewekansige of nie-ewekansige eksperiment nie, maar ons stel belang in een of ander waarskynlikheid of numeriese waarde vir die gunstige gebeurtenisse, byvoorbeeld gestel ons gooi twee dobbelstene vir die som as 8 dan is ons nie belangstel in die uitkoms as eerste dobbelsteen met 2 tweede dobbelstene as 6 of (3,5), (5,3), (4,4), (6,2), ens. eweneens vir die ewekansige eksperiment van reservoir in die daaglikse lewe stel ons nie belang in die daaglikse verhoging of verlaging van watervlak nie, maar slegs geïnteresseerd in die reënseisoen watervlak na voltooiing.

So sulke numeriese hoeveelhede waarin ons belangstel, word as ewekansige veranderlike van die onderskeie ewekansige eksperiment beskou. Vir hierdie doel ken ons die moontlike werklike waardes numeries aan die uitkomste van die ewekansige eksperiment toe. Ter illustrasie van die toekenning van numeriese waarde aan die uitkoms, oorweeg die eksperiment om 'n muntstuk te gooi, ons ken numeriese waarde 0 en 1 toe vir kop en spoor onderskeidelik in steekproefruimte van die ewekansige eksperiment. 

Diskrete ewekansige veranderlike

Diskrete ewekansige veranderlike kan gedefinieer word as die ewekansige veranderlike wat eindig of telbaar oneindig in getal is en diegene wat nie eindig of telbaar oneindig is nie, is nie-diskrete ewekansige veranderlikes. Vir elke element van steekproefruimte wat ons 'n reële getal toeken, kan dit geïnterpreteer word in terme van reële waardefunksie wat deur X aangedui word, dws X:S→R. Ons noem hierdie funksie as 'n ewekansige veranderlike of stogastiese funksie, wat 'n fisiese, meetkundige of enige ander belangrikheid het.

voorbeeld: Oorweeg 'n eksperiment om twee dobbelstene te gooi en veronderstel dan ewekansige veranderlike of stogastiese funksie verteenwoordig die som van die punte wat op die dobbelsteen verskyn, dan die moontlike waardes vir die steekproefruimte

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5) , (1,6) ,

          (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

          (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

        (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

        (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

        (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

sal X=2 wees, vir (1,1)

X=3 vir (1,2), (2,1) ens uit die volgende kan ons maklik verstaan

X = 2(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)
X = 3(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)
X = 4(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)
(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)
X = 5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)
X = 6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)
X = 7X = 8X = 9X = 10X = 11X = 12

In die bostaande tabel sal die diagonale elemente van regs na links die som gee wat deur die ewekansige veranderlike of stogastiese funksie uitgedruk word.

Die waarskynlikheid vir die onderskeie ewekansige veranderlike kan soos volg uitgedruk word

Diskrete ewekansige veranderlike
Diskrete ewekansige veranderlike: gooi van twee dobbelsteen monsterruimte

Diskrete Waarskynlikheidsverspreiding

Diskrete waarskynlikheidsverspreiding is die waarskynlikhede van die ewekansige veranderlikes wat diskreet van aard is, veral as x1, x2, x3, x4,………., xk is die waardes van diskrete willekeurige veranderlike X dan P(x1), P(x2), P(x3), P(x4), ……… .P(xk) is die ooreenstemmende waarskynlikhede.

Waarskynlikheidsfunksie/waarskynlikheidsverspreiding kan ons aandui as 

P(X=x)=f(x)

en na aanleiding van die definisie van die waarskynlikheid voldoen hierdie funksie aan die volgende voorwaardes.

  1. f(x)≥0
  2. Σ f(x)=1, waar hierdie opsomming totale opsomming vir x is.

voorbeeld: As 'n muntstuk twee keer gegooi word, as ons die aantal roetes uitdruk wat opkom as ewekansige veranderlike X, dan sal dit wees 

UitkomsteTTTHHTHH
X2110

As ons die billike munt neem, sal die bogenoemde die uitkoms wees vir twee keer gooi en die waarskynlikheid vir so 'n ewekansige veranderlike sal wees

P (X=0) = P (H,H) =1/4

P (X=1) = P (TH of HT) = P (TH ∪ HT) = P (TH) + P (HT)=1/4+1/4=1/2

en P (X=2) = P (TT) =1/4

Hierdie waarskynlikheidsverdeling kan ons soos volg tabuleer

X012
P(X=x)=f(x)¼½1 / 4

Kumulatiewe Verspreidingsfunksie (cdf)/Verspreidingsfunksie

Ons sal definieer Verspreidingsfunksie or Kumulatiewe verspreidingsfunksie (cdf) vir die diskrete ewekansige veranderlike X aangedui deur F(x), vir-∞≤x≤∞ as

F(x)=P(X≤x)

Mits dit volg

  1. Vir enige x,y , x≤y, F(x) ≤ F(y), maw kumulatiewe verspreidingsfunksie F(x) is nie-afnemend.
  2. F(x) =0 en F(x)=1
  3. F(x+h)=F(x), ∀ x dws . kumulatiewe verspreidingsfunksie F(x) is reg kontinu.

Sedert vir die diskrete willekeurige veranderlike waarskynlikheid vir X=x is P(X=x), vir x1<X<x2 sal P(x1<X<x2) en vir X≤x is P(X≤x).

Ons kan die Verspreidingsfunksie vir diskrete verspreidingsfunksie soos volg skryf

Diskrete ewekansige veranderlike
Diskrete ewekansige veranderlike: kumulatiewe verspreidingsfunksie

ons kan die waarskynlikheidsfunksie van die verspreidingsfunksie as verkry

P (X=x) = f(x) =F(x)-F(u)

voorbeeld: Die waarskynlikheid vir die diskrete ewekansige veranderlike word soos volg gegee

X01234567
P (x)01 / 101 / 51 / 53 / 101 / 1001 / 5017 / 100
Kumulatiewe verspreidingsfunksie

Vind F2, F5, F(7)?

Oplossing:

Diskrete ewekansige veranderlike
Diskrete ewekansige veranderlike: Voorbeeld

Wiskundige verwagting 

   Wiskundige verwagting is baie belangrike konsep vir die waarskynlikheidsleer sowel as statistiek oogpunt dit staan ​​ook bekend as die verwagting of verwagte waarde, dit kan gedefinieer word as die som van ewekansige veranderlikes en sy waarskynlikhede in vermenigvuldiging maw as x1, x2, x3, x4,……….xn is die waardes van diskrete ewekansige veranderlike X dan P(x1),P(x2),P(x3),P(x4),……….P(xn) is dan die ooreenstemmende waarskynlikhede wiskundige verwagting van ewekansige veranderlike X aangedui deur E(x) as

Diskrete ewekansige veranderlike
Diskrete ewekansige veranderlike: Voorbeeld

voorbeeld: Uit 'n pak van 72 kaarte genommer van 1 tot 72 op 'n slag 8 kaarte word getrek, vind die verwagte waarde van die som van getalle op kaartjies wat getrek is.

Oplossing:. oorweeg die ewekansige veranderlikes x1, x2, x3, x4,……….xn wat die kaarte genommer 1, 2, 3, 4, ………, 72 verteenwoordig

so waarskynlikheid van enige x uit 72 kaart is 

P(xi)=1/n=1/72

sedertdien sal verwagting wees

E(x)=x1.(1/n)+x2.(1/n)+x3.(1/n)+…………………+xn.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Nou sal die verwagte waarde vir 8 sulke kaarte wees 

E(x)=x1.(1/n)+x2.(1/n)+x3.(1/n)+…………………+x8.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

variansie, Standaardafwyking en Gemiddelde afwyking deur Wiskundige Verwagting

Die belangrike konsepte van die statistiek standaard afwyking en variansie ons kan uitdruk in terme van wiskundige verwagting, dus as die ewekansige veranderlikes x1, x2, x3, x4,……….xn met die ooreenstemmende waarskynlikhede P(x1), P(x2), P(x3), P(x4), ……….P(xn) dan sal variansie wees

Diskrete ewekansige veranderlike
Diskrete ewekansige veranderlike: standaardafwyking

voorbeeld: In 'n speletjie, as 'n billike dobbelsteen gebruik word en speler sal wen as daar enige vreemde waarde op dobbelstene kom en prysgeld sal Rs 20 gegee word as 1 kom, Rs 40 vir 3, en Rs 60 vir 5 en as enige ander kant van die dobbelsteen Rs 10 verlies vir die speler. vind die verwagte geld wat gewen kan word met afwyking en standaardafwyking.

Oplossing:

Vir die billike dobbelstene ken ons die verspreiding van die waarskynlikhede,

X123456
P(X=x)1 / 61 / 61 / 61 / 61 / 61 / 6
standaard afwyking

Laat X die ewekansige veranderlike vir die dobbelsteen omskakel volgens die spelvereiste geld gewen of verlies wanneer gesig soos volg kom,

X+20-1040-1060-10
P(X=x)1 / 61 / 61 / 61 / 61 / 61 / 6
standaard afwyking

dus sal die verwagte bedrag wat deur enige speler gewen word

  E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

dus sal die verwagte bedrag wat deur enige speler gewen word μ=15 wees

Diskrete ewekansige veranderlike
Diskrete ewekansige veranderlike: standaardafwyking

Die resultaat van die wiskundige verwagting sowel as variansie kan veralgemeen word vir meer as twee veranderlikes soos per vereiste.

Gevolgtrekking:

   In hierdie artikel het ons hoofsaaklik die diskrete ewekansige veranderlike, waarskynlikheidsverdeling en verspreidingsfunksie, bekend as cdf kumulatiewe verspreidingsfunksie, bespreek, ook die konsep van Wiskundige verwagting vir diskrete ewekansige veranderlike en wat die gemiddelde afwyking, variansie en standaardafwyking vir so 'n diskrete ewekansige veranderlike sou wees, word verduidelik aan die hand van geskikte voorbeelde in die volgende artikel, ons sal dieselfde bespreek vir kontinue ewekansige veranderlike, as jy verder wil lees gaan dan deur:

Vir meer onderwerp oor Wiskunde, volg asseblief hierdie skakel.

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque, Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek dra graag by tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings