Kovariansie, Afwyking Van Somme: 7 Belangrike Feite


KOVARIANSIE, VARIANSIE VAN SOMME EN KORRELASIES VAN EVALLEKSE VERANDERLIKES

  Die statistiese parameters van die ewekansige veranderlikes van verskillende aard met behulp van die definisie van verwagting van ewekansige veranderlike is maklik om te verkry en te verstaan, in die volgende sal ons 'n paar parameters vind met behulp van wiskundige verwagting van ewekansige veranderlike.

Momente van die aantal gebeurtenisse wat plaasvind

    Tot dusver weet ons dat verwagting van verskillende magte van ewekansige veranderlike die momente van ewekansige veranderlikes is en hoe om die verwagting van ewekansige veranderlike uit die gebeure te vind as die aantal gebeurtenis reeds plaasgevind het, nou is ons geïnteresseerd in die verwagting as paar van aantal gebeurtenisse reeds plaasgevind het, as X nou die aantal gebeurtenisse verteenwoordig wat plaasgevind het, dan vir die gebeurtenisse A1, A2, …., An definieer die aanwyser veranderlike Ii as

die verwagting van X in diskrete sin sal wees

omdat die ewekansige veranderlike X is

nou om verwagting te vind as die aantal paar gebeurtenis reeds plaasgevind het, moet ons gebruik kombinasie as

dit gee verwagting as

hieruit kry ons die verwagting van x vierkant en die waarde van variansie ook deur

Deur hierdie bespreking te gebruik, fokus ons verskillende soorte ewekansige veranderlikes om sulke oomblikke te vind.

Momente van binomiale ewekansige veranderlikes

   As p die waarskynlikheid van sukses van n onafhanklike proewe is, laat ons A aanduii vir die verhoor i as sukses so

en vandaar die variansie van binomiale ewekansige veranderlike sal

omdat

as ons veralgemeen vir k gebeure

hierdie verwagting kan ons agtereenvolgens kry vir die waarde van k groter as 3, laat ons vind vir 3

met behulp van hierdie iterasie wat ons kan kry

Momente van hipergeometriese ewekansige veranderlikes

  Die oomblikke van hierdie ewekansige veranderlike sal ons met behulp van 'n voorbeeld verstaan, veronderstel n penne word lukraak gekies uit 'n boks wat N penne bevat waarvan m blou is, Laat Ai dui die gebeure aan dat i-de pen blou is, Nou is X die aantal blou pen wat gekies is gelyk aan die aantal gebeurtenisse A1,A2,…..,An wat voorkom omdat die iste pen wat gekies is ewe waarskynlik is as enige van die N penne waarvan m blou is

en so

dit gee

dus sal die variansie van hipergeometriese ewekansige veranderlike wees

op soortgelyke wyse vir die hoër oomblikke

vandaar

Momente van die negatiewe hipergeometriese ewekansige veranderlikes

  beskou die voorbeeld van 'n pakkie wat n+m entstowwe bevat waarvan n spesiaal is en m gewoon is, hierdie entstowwe een op 'n slag verwyder, met elke nuwe verwydering ewe waarskynlik enige van die entstowwe wat in die pakkie oorbly. Laat ewekansige veranderlike Y nou die aantal entstowwe aandui wat onttrek moet word totdat 'n totaal van r spesiale entstowwe verwyder is, wat negatiewe hipergeometriese verspreiding is, dit is op een of ander manier soortgelyk met negatiewe binomiaal tot binomiaal as aan hipergeometriese verspreiding. om die te vind waarskynlikheid massafunksie as die k-de trekking die spesiale entstof gee na k-1 trekking gee r-1 spesiale en kr gewone entstof

nou die ewekansige veranderlike Y

Y=r+X

vir die gebeure Ai

as

dus om die variansie van Y te vind, moet ons die variansie van X ken

vandaar

KOVARIANSIE             

Die verband tussen twee ewekansige veranderlikes kan voorgestel word deur die statistiese parameter kovariansie, voordat die definisie van kovariansie van twee ewekansige veranderlikes X en Y onthou dat die verwagting van twee funksies g en h van ewekansige veranderlikes X en Y onderskeidelik gee

deur hierdie verwagtingsverhouding te gebruik, kan ons kovariansie definieer as

   “ Die kovariansie tussen ewekansige veranderlike X en ewekansige veranderlike Y aangedui deur cov(X,Y) word gedefinieer as

met behulp van definisie van verwagting en uitbreiding kry ons

dit is duidelik dat as die ewekansige veranderlikes X en Y dan onafhanklik is

maar die omgekeerde is nie waar nie, byvoorbeeld as

en definieer die ewekansige veranderlike Y as

so

hier is duidelik X en Y nie onafhanklik nie, maar kovariansie is nul.

Eienskappe van kovariansie

  Kovariansie tussen ewekansige veranderlikes X en Y het 'n paar eienskappe soos volg

deur die definisie van die kovariansie te gebruik, is die eerste drie eienskappe onmiddellik en die vierde eienskap volg deur te oorweeg

nou per definisie

kovariansie

Variansie van die somme

Die belangrike resultaat van hierdie eienskappe is

as

As Xi se is dan paarsgewys onafhanklik

Voorbeeld: Variansie van 'n binomiale ewekansige veranderlike

  As X die ewekansige veranderlike is

waar Xi is die onafhanklike Bernoulli ewekansige veranderlikes sodanig dat

 vind dan die variansie van 'n binomiale ewekansige veranderlike X met parameters n en p.

Oplossing:

sedert

so vir enkele veranderlike het ons

so die variansie is

voorbeeld

  Vir die onafhanklike ewekansige veranderlikes Xi met die onderskeie gemiddeldes en variansie en 'n nuwe ewekansige veranderlike met afwyking as

bereken dan

oplossing:

Deur die bogenoemde eienskap en definisie te gebruik het ons

nou vir die ewekansige veranderlike S

KOVARIANSIE

neem die verwagting

voorbeeld:

Vind die kovariansie van aanwyserfunksies vir die gebeurtenisse A en B.

Oplossing:

vir die gebeurtenisse A en B is die aanwyserfunksies

so die verwagting van hierdie is

dus is die kovariansie

voorbeeld:

     Wys dit

waar Xi is onafhanklike ewekansige veranderlikes met variansie.

Oplossing:

Die kovariansie met behulp van die eienskappe en definisie sal wees

voorbeeld:

  Bereken die gemiddelde en variansie van ewekansige veranderlike S wat die som is van n steekproefwaardes as 'n stel van N mense wat elkeen 'n mening het oor 'n sekere onderwerp wat gemeet word deur 'n reële getal v wat die persoon se “sterkte van gevoel” oor die onderwerp verteenwoordig. Laat  verteenwoordig die sterkte van gevoel van persoon  wat onbekend is, om inligting in te samel word 'n steekproef van n uit N lukraak geneem, hierdie n mense word ondervra en hul gevoel word verkry om vi te bereken

Oplossing

kom ons definieer die aanwyserfunksie as

dus kan ons S uitdruk as

en sy verwagting as

dit gee die variansie as

sedert

ons het

ons ken die identiteit

so

dus sal die gemiddelde en variansie vir die genoemde ewekansige veranderlike wees

Gevolgtrekking:

Die korrelasie tussen twee ewekansige veranderlikes word gedefinieer as kovariansie en met behulp van die kovariansie word die som van die variansie vir verskillende ewekansige veranderlikes verkry, die kovariansie en verskillende momente word verkry met behulp van definisie van verwagting , as jy verdere leeswerk benodig, gaan deur

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH.

Vir meer plasing oor wiskunde, volg asseblief ons Wiskunde bladsy

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ek het my Ph.D. in Wiskunde en werk as 'n Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek hou daarvan om by te dra tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings