Kontinuïteitsvergelyking: 7 belangrike konsepte


Inhoudslys

  • Kontinuïteitsvergelyking
  • Kontinuïteitsvergelyking differensiaalvorm
  • Kontinuïteitsvergelyking vir onsamedrukbare vloei
  • Kontinuïteitsvergelyking vir tweedimensionele koplanêre vloei
  • Kontinuïteitsvergelyking voorbeeld
  • Vraag en antwoorde
  • MKV
  • Gevolgtrekking

Kontinuïteitsvergelyking

Die vloeistof wat deur die stroombuis vloei, word as die ideale vloeistof aanvaar. Daar is geen vloei wat oor die stroomlyn plaasvind nie. Dit beteken dat vloeistof aan die een kant ingaan en aan die ander kant uitgaan, daar is geen tussen-uitlaat nie. Oorweeg vloeitoestand by inlaatdwarssnit 1-1 soos hieronder,

Stroombuis
GrenseInlaat afdeling 1-1Uitlaatafdeling 2-2
Deursnit areaAA+dA
Gemiddelde vloeistofdigtheid??+d?
Gemiddelde vloeisnelheidVV+dV

Die vloeistofmassa wat tussen hierdie twee beskoude afdelings vloei word gegee deur die volgende formule,

dm = (AV ? dt ) – ( ​​A + dA ) ( V+ dV ) ( ? + d? ) dt Eq … 1

deur bogenoemde vergelyking te vereenvoudig kry ons,

dm/dt = – (AV d? + V ? dA + A ? dV) Vgl … 2

Aangesien ons weet dat bestendige vloei konstante massavloeitempo beteken, beteken dit hier dm/dt = 0. Nou Vgl. 2 gedraai soos hieronder,

(AV d? + V ? dA + A ? dV) = 0 Vgl … 3

Verdeel nou Vgl. 3 met ? AV, vergelyking sal wees soos,

(d?/?) + (dA/A) + (dV/V) = 0 Vgl … 4

d ( ? AV ) = 0 Vgl … 5

? AV = Konstante Vgl … 6

Hier is die Vgl. 6 laat ons weet dat die massa vloeistof wat deur stroombuis gaan konstant by elke seksie is.

Gestel die vloeistof is onsamedrukbaar (vloeibaar) dan sal die digtheid van vloeistof nie op enige punt verander nie. Dit beteken dat vloeistofdigtheid konstant is.

AV = Konstant

A1 V1 = A.2 V2                                                                                                                           Vgl … 7

Vgl. 7 verteenwoordig die kontinuïteitsvergelyking vir bestendige onsamedrukbare vloei binne die stroombuis. Die kontinuïteitsvergelyking gee 'n basiese begrip van oppervlakte en snelheid. Die deursnee-area se verandering beïnvloed die snelheid van vloei binne die stroombuis, pyp, hol kanaal, ens. Hier is die opwindende ding 'n produk van snelheid en deursnee-oppervlakte. Hierdie produk is konstant op enige punt in die stroombuis. Die snelheid is omgekeerd eweredig aan die deursnee-area van die stroombuis of pyp.

Kontinuïteitsvergelyking differensiaalvorm

Om die differensiaalvorm van die kontinuïteitsvergelyking af te lei, oorweeg 'n voorwerp soos in die figuur getoon. Die afmetings is dx, dy en dz. Daar is 'n paar aannames vir hierdie formasie. Die massa vloeistof word nie geskep of vernietig nie, geen holte of borrels in vloeistof nie (aaneenlopende vloei). Ons beskou dx in die x-rigting, dy in y en dz in z-rigtings vir maklike afleiding.

As u die snelheid van vloeistofvloei is volgens die gesig in die figuur. Daar word aanvaar dat die snelheid uniform is regdeur die deursnee-area van die voorkant. Die vloeistofsnelheid by oppervlak 1-2-3-4 is u. nou; die oppervlak 5-6-7-8 is 'n dx afstand ver van 1-2-3-4 af. Dus, die snelheid by 5-6-7-8 word gegee as

u+∂u/∂x dx
Differensiële vorm van die kontinuïteitsvergelyking
Differensiële vorm van die kontinuïteitsvergelyking

Soos ons weet dat daar verandering in digtheid deur die gebruik van saamdrukbare vloeistof. As die saamdrukbare vloeistof deur 'n voorwerp gaan, sal die digtheid verander.

Die massavloei wat die voorwerp binnegaan word gegee as

Massavloei = ? AV

Massavloeitempo = ? AV dt

Die vloeistof wat ingaan op 1-2-3-4

Inlaatvloeistof = digtheid (oppervlakte * snelheid) dt

Inlaatvloeistof= ρ u dy dz dt

Vgl … 1

Die vloeistof wat uit 5-6-7-8 vertrek

Uitlaat vloeistof

uitlaatvloeistof= [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dt	

Vgl … 2

Nou, die verskil tussen inlaatvloeistof en uitlaatvloeistof is massa wat in x-rigting vloei gebly word.

= ρ u dy dz dt- [ρu+ ∂/∂x (ρu)dx] dy dz dt
= - ∂/∂x (ρu)dx dy dz dt

Vgl … 3

Net so beskou ons massa vloeistof in y- en z-rigting word gegee soos hieronder,

= - ∂/∂y (ρv)dx dy dz dt

Vgl … 4

= - ∂/∂z (ρw)dx dy dz dt

Vgl … 5

Hier is die v en w die snelhede van vloeistof in onderskeidelik y- en z-rigtings.

Vir die massavloei van vloeistof in al drie rigtings word asse gegee deur die byvoeging van Vgl. 3, 4 en 5. Dit word gegee as onder totale vloeistofmassa,

= -[∂/∂x (ρu)+ ∂/∂y (ρv)+ ∂/∂z (ρw)] dx dy dz dt

Vgl … 6

Die tempo van verandering van massa binne die voorwerp word gegee deur,

∂m/∂t dt= ∂/∂t ( ρ ×volume ) dt= ∂ρ/∂t dx dy dz dt

Vgl … 7

Soos per begrip van massabewaring Vgl. 6 gelyk aan Vgl. 7

-[∂/∂x (ρu)+ ∂/∂y (ρv)+ ∂/∂z (ρw)] dx dy dz dt= ∂ρ/∂t dx dy dz dt

Deur die bogenoemde vergelyking op te los en dit te vereenvoudig, kry ons,

∂ρ/∂t+∂/∂x (ρu)+ ∂/∂y (ρv)+ ∂/∂z (ρw)=0

Vgl … 8

Vgl. 8 is. Kontinuïteitsvergelyking vir algemene vloei. Dit kan bestendig of onstabiel, saamdrukbaar of onsaamdrukbaar wees.

Kontinuïteitsvergelyking vir onsamedrukbare vloei

As ons in ag neem, is vloei bestendig en onsaamdrukbaar. Ons weet dat in die geval van bestendige vloei ??/?t = 0. As die vloei nie saamdrukbaar is, dan is digtheid ? bly konstant. Dus, deur hierdie toestand te oorweeg, Vgl. 8 kan geskryf word as,

∂u/∂x+ ∂v/∂y + ∂w/∂z =0

Kontinuïteitsvergelyking vir tweedimensionele koplanêre vloei

In tweedimensionele vloei is daar twee rigtings x en y. Dus, u snelheid in x-rigting en v snelheid in die y-rigting. Daar is geen z-rigting nie, dus snelheid in die z-rigting is nul. Deur hierdie voorwaardes in ag te neem, sal die Vgl. 8 gedraai soos hieronder,

∂/∂x (ρu)+ ∂/∂y (ρv)=0

Samedrukbare vloei

∂u/∂x+ ∂v/∂y =0 

Onsaamdrukbare vloei, digtheid is nul

Kontinuïteitsvergelyking voorbeeld

Daar is vloeilug deur die pyp teen 'n tempo van 0.25 kg/s teen 'n absolute druk van 2.25 bar en temperatuur van 300 K. As die vloeisnelheid 7.5 m/s is, wat sal dan die pyp se minimum deursnee wees?

data,

m = 0.25 kg/s,

P = 2.25 bar,

T = 300 K,

V = 7.5 m/s,

Bereken die digtheid van lug,

P = ? RT

? = P / RT

? = ( 2.25 * 105 )/ ( 287 * 300 ) = 2.61 kg/m3

Massavloeitempo van lug,

m = ? AV

A = m / ? V

A = 0.25 / ( 2.61* 7.5) = 0.012 m2

Soos ons daardie area ken,

A = π D2 / 4

D= √((A*4)/π)
D= √((0.012*4)/3.14)

D = 0.127 m = 12.7 cm

'n Waterstraal in opwaartse rigting is 'n spuitpuntpunt teen 'n snelheid van 15 m/s. Die deursnee van die spuitstuk is 20 mm. veronderstel daar is geen energieverlies tydens werking nie. Wat sal die deursnee van die waterstraal op 5 m bo van die spuitpuntpunt wees.

Ans.

Stel jou eerstens die stelsel voor; die vloei is in 'n vertikale rigting.

data,

V1 = snelheid van straal by die spuitpuntpunt

V2 = snelheid van straal op 5 m bo vanaf spuitpuntpunt

Net so, gebiede A1 en A2.

Ons het algemene bewegingsvergelyking soos hieronder,

〖V2〗^2-〖V1〗^2=2 g s
〖V2〗^2-〖15〗^2=2*(-9.8)*5

V2 = 11.26 m/s

Pas nou kontinuïteitsvergelyking toe,

A1 V1 = A2 V2

A2 = (A1 V1)/ V2

A2= ((π/4)* (0.02)^2* 15)/11.26=4.18* 10^-4 m^2
π/4*〖d2〗^2 =4.18* 10^-4 m^2

Deursnee = 0.023 m = 23 mm

Vrae & Antwoorde

Wat is die verskil tussen die kontinuïteitsvergelyking en die Navier Stokes-vergelyking?

Vloeistowwe kan per definisie vloei, maar dit is fundamenteel onsaamdrukbaar van aard. Die kontinuïteitsvergelyking is 'n gevolg van die feit dat dit wat in 'n pyp/slang ingaan, ook moet vrylaat. Dus, op die ou end, moet die area maal die snelheid aan die einde van 'n pyp/slang konstant bly.

As die area van die pyp/slang afneem, moet die vloeistof se snelheid ook toeneem om die vloeitempo konstant te hou.

Terwyl die Navier-Stokes vergelyking beskryf die verwantskappe tussen snelheid, druk, temperature en digtheid van 'n bewegende vloeistof. Hierdie vergelyking word gewoonlik gekoppel aan verskeie differensiaalvergelykingsvorme. Gewoonlik is dit redelik kompleks om analities op te los.

Waarop is die kontinuïteitsvergelyking gebaseer?

Die vergelyking van kontinuïteit sê dat die volume vloeistof wat in die pyp van enige deursnee ingaan gelyk moet wees aan die volume vloeistof wat die ander kant van die deursnee-area verlaat, wat beteken dat die tempo van vloeitempo konstant moet wees en moet volg die verband-

Gestel die vloeistof is onsamedrukbaar (vloeibaar), dan sal die vloeistofdigtheid op geen stadium verander nie. Dit beteken dat vloeistofdigtheid konstant is.

AV = Konstant

Vloeitempo = A1 V1 = A.2 V2

Waarvoor word die kontinuïteitsvergelyking gebruik?

Kontinuïteitsvergelyking het baie toepassings op die gebied van hidrodinamika, aërodinamika, elektromagnetisme, kwantummeganika. Dit is 'n belangrike konsep vir die fundamentele reël van Bernoulli se Beginsel, dit is indirek betrokke by die Aerodinamika-beginsel en toepassings.

Die vergelyking van kontinuïteit druk 'n plaaslike bewaringswet uit na gelang van die konteks. Dit is bloot 'n wiskundige stelling wat subtiel dog baie kragtig is oor die plaaslike bewaring van spesifieke hoeveelhede.

Geld die vergelyking van kontinuïteit vir supersoniese vloei?

Ja, dit kan gebruik word vir supersoniese vloei. Dit kan gebruik word vir ander vloeie soos hipersoniese, supersoniese en subsoniese. Die verskil is dat jy die konserwatiewe vorm van die vergelyking moet gebruik.

Wat is die driedimensionele vorm van die kontinuïteitsvergelyking vir bestendige onsamedrukbare vloei?

As ons in ag neem, is vloei bestendig en onsaamdrukbaar. Ons weet dat in die geval van bestendige vloei ??/?t = 0. As die vloei nie saamdrukbaar is, dan is digtheid ? bly konstant. Dus, deur hierdie toestand te oorweeg, Vgl. 8 kan geskryf word as,

 ∂u/∂x+ ∂v/∂y + ∂w/∂z =0

Wat is die 3D-vorm van die kontinuïteitsvergelyking vir bestendige saamdrukbare en onsamedrukbare vloei?

In tweedimensionele vloei is daar twee rigtings x en y. Dus, u snelheid in x-rigting en v snelheid in die y-rigting. Daar is geen z-rigting nie, dus snelheid in die z-rigting is nul. Deur hierdie voorwaardes in ag te neem, sal die Vgl. 8 gedraai soos hieronder,

∂/∂x (ρu)+ ∂/∂y (ρv)=0
 ∂u/∂x+ ∂v/∂y =0

Meerkeusevrae

Watter een van die volgende is 'n vorm van kontinuïteitsvergelyking?

  1. v1 A1 =v2 A2
  2. v1 t1 =v2 t2
  3. ΔV / t
  4. v1 / TO1 =v2 / TO2

Wat gee die kontinuïteitsvergelyking die konsep oor die beweging van 'n ideale vloeistof?

  1. Soos die deursnee-area toeneem, neem die spoed toe.
  2. Soos die deursnee-area afneem, neem die spoed toe.
  3. Soos die deursnee-area afneem, neem die spoed af.
  4. Soos die deursnee-area toeneem, verminder die volume.
  5. Soos die volume toeneem, neem die spoed af.

Die vergelyking van kontinuïteit is gebaseer op die beginsel van

a) bewaring van massa

b) behoud van momentum

c) behoud van energie

d) behoud van krag

Twee soortgelyke pypdiameters van d konvergeer om 'n pyp met deursnee D te verkry. Wat kan die waarneming tussen d en D wees? Die snelheid van vloei in die nuwe pyp sal dubbel soveel wees as in elk van die twee pype?

a) D = d

b) D = 2d

c) D = 3d

d) D = 4d

Die pype van verskillende diameters d1 en d2 konvergeer om 'n pyp met deursnee 2d te verkry. As die vloeistofsnelheid in beide pype v1 en v2 is, wat sal die vloeisnelheid in die nuwe pyp wees?

a) v1 + v2

b) v1 + v2/2

c) v1 + v2/4

d) 2(v1 + v2)

Gevolgtrekking

Hierdie artikel sluit kontinuïteitsvergelykingsafleidings met hul verskillende vorm en toestande in. Basiese voorbeelde en vrae word gegee vir 'n beter begrip van die konsep van die kontinuïteitsvergelyking.

Vir meer artikels met verwante onderwerpe, kliek hier

Deepakkumar Jani

Ek is Deepak Kumar Jani, besig met PhD in meganiese-hernubare energie. Ek het vyf jaar onderrig en twee jaar navorsingservaring. My vakgebied van belangstelling is termiese ingenieurswese, motoringenieurswese, Meganiese meting, Ingenieurstekeninge, Vloeistofmeganika, ens. Ek het 'n patent ingedien op "Verbastering van groen energie vir kragproduksie". Ek het 17 navorsingsartikels en twee boeke gepubliseer. Ek is bly om deel te wees van Lambdageeks en wil graag van my kundigheid op 'n simplistiese wyse aan die lesers voorhou. Behalwe vir akademie en navorsing hou ek daarvan om in die natuur rond te dwaal, die natuur vas te vang en bewusmaking oor die natuur by mense te skep. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/jani-deepak-b0558748/. Verwys ook my YouTube-kanaal oor “Uitnodiging van die natuur”

Onlangse plasings