Voorwaardelike variansie en voorspellings: 7 belangrike feite


In hierdie artikel sal die voorwaardelike variansie en voorspellings met behulp van voorwaardelike verwagting vir die verskillende soort ewekansige veranderlike met 'n paar voorbeelde bespreek word.

Voorwaardelike afwyking

Die voorwaardelike variansie van ewekansige veranderlike X gegee Y word op soortgelyke wyse gedefinieer as voorwaardelike Verwagting van ewekansige veranderlike X gegee Y as

(X|Y)=E[(XE[X|Y])2|Y]

hier is variansie die voorwaardelike verwagting van verskil tussen ewekansige veranderlike en kwadraat van voorwaardelike verwagting van X gegee Y wanneer die waarde van Y gegee word.

Die verhouding tussen die voorwaardelike afwyking en voorwaardelike verwagting is

(X|Y) = E[X2|Y] – (E[X|Y])2

E[(X|Y)] = E[E[X2|Y]] – E[(E[X|Y])2]

= E[X2] – E[(E[X\Y])2]

aangesien E[E[X|Y]] = E[X], het ons

(E[X|Y]) = E[(E[X|Y])2] – (E[X])2

dit is op een of ander manier soortgelyk aan die verhouding van onvoorwaardelike variansie en verwagting wat was

Var(X) = E[X2] – (E[X])2

en ons kan die variansie vind met behulp van voorwaardelike variansie as

Var(X) = E[var(X|Y] + var(E[X|Y])

Voorbeeld van voorwaardelike afwyking

Vind die gemiddelde en variansie van die aantal reisigers wat in die bus ingaan as die mense wat by busdepot aangekom het, Poisson versprei is met gemiddelde λt en die aanvanklike bus wat by busdepot aangekom het, is eenvormig versprei oor die interval (0,T) onafhanklik van mense aangekom of nie.

Oplossing:

Om die gemiddelde en variansie laat vir enige tyd t te vind, is Y die ewekansige veranderlike vir die tyd bus arriveer en N(t) is die aantal aankomste

E[N(Y)|Y = t] = E[N(t)|Y = t]

deur die onafhanklikheid van Y en N(t)

=λt

aangesien N(t) Poisson met gemiddelde is \lambda t
vandaar

E[N(J)|J]=λY

so neem verwagtinge gee

E[N(Y)] = λE[Y] = λT/2

Om Var(N(Y) te verkry), gebruik ons ​​die voorwaardelike afwykingsformule

dus

(N(Y)|Y) = λY

E[N(Y)|Y] = λY

Dus, vanaf die voorwaardelike afwykingsformule,

Var(N(Y)) = E[λY]+(λY)

=λT/2 + λ2T2/ 12

waar ons die feit gebruik het dat Var(Y)=T2 / 12.

Variansie van 'n som van 'n ewekansige aantal ewekansige veranderlikes

oorweeg die volgorde van onafhanklike en identies versprei ewekansige veranderlikes X1,X2,X3,………. en 'n ander ewekansige veranderlike N onafhanklik van hierdie ry, sal ons vind variansie van som van hierdie volgorde as

gebruik van

wat duidelik is met die definisie van variansie en voorwaardelike variansie vir die individuele ewekansige veranderlike tot die som van die volgorde van ewekansige veranderlikes dus

voorspelling

In voorspelling kan die waarde van een ewekansige veranderlike voorspel word op grond van waarneming van 'n ander ewekansige veranderlike, vir voorspelling van ewekansige veranderlike Y as waargenome ewekansige veranderlike X is gebruik ons ​​g(X) as die funksie wat die voorspelde waarde vertel, natuurlik probeer om g(X) gesluit vir Y te kies hiervoor die beste g is g(X)=E(Y|X) hiervoor moet ons die waarde van g minimaliseer deur die ongelykheid te gebruik

Hierdie ongelykheid kan ons kry as

Gegewe X, E[Y|X]-g(X), synde 'n funksie van X, kan egter as 'n konstante hanteer word. Dus,

wat die vereiste ongelykheid gee

Voorbeelde oor Voorspelling

1. Daar word waargeneem dat die lengte van 'n persoon ses voet is, wat sal die voorspelling wees van sy seun se lengte nadat hy groot is as die lengte van seun wat nou x duim is, normaal versprei is met gemiddelde x+1 en variansie 4.

Oplossing: laat X die ewekansige veranderlike wees wat die lengte van die persoon aandui en Y die ewekansige veranderlike vir die lengte van seun wees, dan is die ewekansige veranderlike Y

Y=X+e+1

hier verteenwoordig e die normale ewekansige veranderlike onafhanklik van ewekansige veranderlike X met gemiddelde nul en variansie vier.

so is die voorspelling vir die seuns se lengte

so die lengte van die seun sal 73 duim wees na groei.

2. Beskou 'n voorbeeld van die stuur van seine vanaf ligging A en ligging B, as vanaf ligging A 'n seinwaarde s gestuur word wat by ligging B deur normale verspreiding ontvang word met gemiddelde s en variansie 1 terwyl as die sein S wat by A gestuur word, normaal versprei is met gemiddelde \mu en variansie \sigma^2, hoe kan ons voorspel dat die seinwaarde R wat vanaf ligging A gestuur word ontvang sal word r by ligging B is?

Oplossing: Die seinwaardes S en R dui hier die ewekansige veranderlikes aan wat normaal versprei is, eers vind ons die voorwaardelike digtheidsfunksie S gegee R as

hierdie K is nou onafhanklik van S

hier ook C1 en C2 is onafhanklik van S, dus is die waarde van voorwaardelike digtheidsfunksie

C is ook onafhanklik van s, dus is die sein wat vanaf plek A as R gestuur word en by plek B as r ontvang word normaal met gemiddelde en variansie

en die gemiddelde vierkante fout vir hierdie situasie is

Lineêre Voorspeller

Elke keer as ons nie die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidsfunksie kan vind nie, is selfs die gemiddelde, variansie en die korrelasie tussen twee ewekansige veranderlikes bekend, in so 'n situasie is lineêre voorspeller van een ewekansige veranderlike met betrekking tot 'n ander ewekansige veranderlike baie nuttig wat die minimum kan voorspel , dus die vir die lineêre voorspeller van ewekansige veranderlike Y met betrekking tot ewekansige veranderlike X neem ons a en b om te minimaliseer

Onderskei nou gedeeltelik ten opsigte van a en b wat ons sal kry

die oplossing van hierdie twee vergelykings vir 'n en b wat ons sal kry

dus die minimalisering van hierdie verwagting gee die lineêre voorspeller as

waar die gemiddeldes die onderskeie gemiddeldes van ewekansige veranderlikes X en Y is, sal die fout vir die lineêre voorspeller verkry word met die verwagting van

voorwaardelike afwyking
voorwaardelike variansie: Fout in voorspelling

Hierdie fout sal nader aan nul wees as korrelasie perfek positief of perfek negatief is, wat die korrelasiekoëffisiënt óf +1 óf -1 is.

Gevolgtrekking

Die voorwaardelike variansie vir die diskrete en kontinue ewekansige veranderlike met verskillende voorbeelde is bespreek, een van die belangrike toepassings van voorwaardelike verwagting in voorspelling word ook verduidelik met geskikte voorbeelde en met die beste lineêre voorspeller, as jy verdere leeswerk benodig, gaan deur onderstaande skakels.

Vir meer plasing oor Wiskunde, verwys asseblief na ons Wiskunde Bladsy

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ek het my Ph.D. in Wiskunde en werk as 'n Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek hou daarvan om by te dra tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings