Voorwaardelike verwagting: 7 feite wat u moet weet


INHOUDSOPGAWE

Vir die ewekansige veranderlike wat van mekaar afhanklik is, vereis die berekening van voorwaardelike waarskynlikhede wat ons reeds bespreek het, nou sal ons nog 'n paar parameters vir sulke ewekansige veranderlikes of eksperimente soos voorwaardelike verwagting en voorwaardelike variansie vir verskillende tipes ewekansige veranderlikes bespreek.

Voorwaardelike verwagting

   Die definisie van voorwaardelike waarskynlikheid massafunksie van diskrete ewekansige veranderlike X gegee Y is

hier pY(y)>0 , dus die voorwaardelike verwagting vir die diskrete ewekansige veranderlike X gegee Y wanneer pY (y)>0 is

in bogenoemde verwagting waarskynlikheid is die voorwaardelike waarskynlikheid.

  Op soortgelyke wyse as X en Y kontinu is, dan is die voorwaardelike waarskynlikheidsdigtheidsfunksie van die ewekansige veranderlike X gegee Y

waar f(x,y) gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidfunksie is en vir alle yfY(y)>0 , dus die voorwaardelike verwagting vir die ewekansige veranderlike X gegee y sal wees

vir al yfY(y)>0.

   Soos ons weet dat al die eienskappe van waarskynlikheid is van toepassing op voorwaardelike waarskynlikheid dieselfde is die geval vir die voorwaardelike verwagting, al die eienskappe van wiskundige verwagting word bevredig deur voorwaardelike verwagting, byvoorbeeld voorwaardelike verwagting van funksie van ewekansige veranderlike sal wees

en die som van ewekansige veranderlikes in voorwaardelike verwagting sal wees

Voorwaardelike verwagting vir die som van binomiale ewekansige veranderlikes

    Om voorwaardelike te vind verwagting van die som van binomiale ewekansige veranderlikes X en Y met parameters n en p wat onafhanklik is, ons weet dat X+Y ook binomiale ewekansige veranderlike sal wees met die parameters 2n en p, dus vir ewekansige veranderlike X gegee X+Y=m sal die voorwaardelike verwagting verkry word deur te bereken die waarskynlikheid

aangesien ons dit weet

dus is die voorwaardelike verwagting van X gegee X+Y=m

voorbeeld:

Vind die voorwaardelike verwagting

as die gewrig waarskynlikheidsdigtheidsfunksie van kontinue ewekansige veranderlikes X en Y word gegee as

oplossing:

Om die voorwaardelike verwagting te bereken benodig ons voorwaardelike waarskynlikheidsdigtheidfunksie, dus

aangesien vir die kontinue ewekansige veranderlike die voorwaardelike verwagting is

dus vir die gegewe digtheidsfunksie sou die voorwaardelike verwagting wees

Verwagting deur kondisionering||Verwagting deur voorwaardelike verwagting

                Ons kan die wiskundige verwagting met behulp van voorwaardelike verwagting van X gegee Y as

vir die diskrete ewekansige veranderlikes sal dit wees

wat verkry kan word as

en vir die deurlopende ewekansige kan ons insgelyks wys

voorbeeld:

                'n Persoon is vasgekeer in sy gebou ondergronds aangesien die ingang geblokkeer is as gevolg van een of ander swaar vrag gelukkig is daar drie pypleidings waaruit hy kan uitkom die eerste pyp neem hom veilig uit na 3 ure, die tweede na 5 ure en die derde pypleiding na 7 uur, As enige van hierdie pypleiding ewe waarskynlik deur hom gekies is, wat sou die verwagte tyd wees dat hy veilig buite sal kom.

Oplossing:

Laat X die ewekansige veranderlike wees wat die tyd in ure aandui totdat die persoon veilig uitgekom het en Y die pyp aandui wat hy aanvanklik kies, dus

sedert

As die persoon die tweede pyp kies, spandeer hy 5 uur daarin, maar hy kom buite met die verwagte tyd

so die verwagting sal wees

Verwagting van som van ewekansige aantal ewekansige veranderlikes deur gebruik te maak van voorwaardelike verwagting

                Laat N die ewekansige getal van ewekansige veranderlike wees en die som van ewekansige veranderlikes is     dan die verwagting  

sedert

as

dus

Korrelasie van tweeveranderlike verspreiding

As die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie van die tweeveranderlike ewekansige veranderlike X en Y is

waar

dan is die korrelasie tussen ewekansige veranderlike X en Y vir die tweeveranderlike verspreiding met digtheidsfunksie

aangesien korrelasie gedefinieer word as

aangesien die verwagting met behulp van voorwaardelike verwagting is

vir die normaalverdeling het die voorwaardelike verdeling X gegewe Y gemiddelde

nou is die verwagting van XY gegee Y

dit gee

vandaar

Variansie van meetkundige verspreiding

    Laat ons in die meetkundige verspreiding agtereenvolgens onafhanklike proewe uitvoer wat tot sukses met waarskynlikheid p lei. As N die tyd van eerste sukses in hierdie opeenvolging verteenwoordig, sal die variansie van N soos per definisie wees

Laat die ewekansige veranderlike Y=1 as die eerste proef tot sukses lei en Y=0 as eerste proef mislukking tot gevolg het, nou pas ons die voorwaardelike verwagting hier toe om die wiskundige verwagting hier te vind.

sedert

as sukses in die eerste proef is, dan is N=1 en N2=1 as mislukking in eerste proef voorkom, dan sal die totale aantal proewe dieselfde verspreiding as 1 hê om die eerste sukses te behaal, dws die eerste proef wat mislukking tot gevolg het met plus die nodige aantal addisionele proewe, dit is

So sal die verwagting wees

aangesien die verwagting van meetkundige verspreiding is so

vandaar

en

E

dus sal die variansie van meetkundige verspreiding wees

Verwagting van Minimum van volgorde van eenvormige ewekansige veranderlikes

   Die volgorde van eenvormige ewekansige veranderlikes U1, OF2 … .. oor die interval (0, 1) en N word gedefinieer as

dan vir die verwagting van N, vir enige x ∈ [0, 1] die waarde van N

ons sal die verwagting van N stel as

om die verwagting te vind gebruik ons ​​die definisie van voorwaardelike verwagting op kontinue ewekansige veranderlike

kondisioneer nou vir die eerste term van die ry  ons het

hier kry ons

die oorblywende aantal eenvormige ewekansige veranderlikes is dieselfde by die punt waar die eerste eenvormige waarde y is, in die begin en dan gaan uniforme ewekansige veranderlikes bytel totdat hul som x − y oorskry het.

so met behulp van hierdie waarde van verwagting sal die waarde van integraal wees

as ons hierdie vergelyking onderskei

en

nou die integrasie van hierdie gee

vandaar

die waarde van k=1 as x=0 , dus

m

en m(1) =e, die verwagte aantal eenvormige ewekansige veranderlikes oor die interval (0, 1) wat bygevoeg moet word totdat hul som 1 oorskry, is gelyk aan e

Waarskynlikheid met behulp van voorwaardelike verwagting || waarskynlikhede met behulp van kondisionering

   Ons kan die waarskynlikheid ook vind deur voorwaardelike verwagting te gebruik soos verwagting wat ons gevind het met voorwaardelike verwagting, om dit te kry, beskou 'n gebeurtenis en 'n ewekansige veranderlike X as

uit die definisie van hierdie ewekansige veranderlike en verwagting duidelik

nou deur voorwaardelike verwagting in enige sin wat ons het

voorbeeld:

bereken die waarskynlikheid massa funksie van ewekansige veranderlike X , as U die eenvormige ewekansige veranderlike op die interval (0,1) is, en beskou die voorwaardelike verdeling van X gegee U=p as binomiaal met parameters n en p.

Oplossing:

Vir die waarde van U is die waarskynlikheid deur kondisionering

ons het die resultaat

so sal ons kry

voorbeeld:

wat is die waarskynlikheid van X < Y, as X en Y die kontinue ewekansige veranderlikes is met waarskynlikheidsdigtheidsfunksies fX en fY onderskeidelik.

Oplossing:

Deur voorwaardelike verwagting en voorwaardelike waarskynlikheid te gebruik

as

voorbeeld:

Bereken die verspreiding van som van kontinue onafhanklike ewekansige veranderlikes X en Y.

Oplossing:

Om die verspreiding van X+Y te vind, moet ons die waarskynlikheid van die som vind deur die kondisionering soos volg te gebruik

Gevolgtrekking:

Die voorwaardelike verwagting vir die diskrete en kontinue ewekansige veranderlike met verskillende voorbeelde met inagneming van sommige van die tipes van hierdie ewekansige veranderlikes wat bespreek is met behulp van die onafhanklike ewekansige veranderlike en die gesamentlike verspreiding in verskillende toestande, Ook die verwagting en waarskynlikheid hoe om te vind met behulp van voorwaardelike verwagting word verduidelik met voorbeelde, as jy verdere lees nodig het, gaan deur onderstaande boeke of vir meer artikel oor waarskynlikheid, volg asseblief ons Wiskunde bladsye.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ek het my Ph.D. in Wiskunde en werk as 'n Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek hou daarvan om by te dra tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings