Voorwaardelike verspreiding: 7 interessante feite om te weet


Voorwaardelike verspreiding

   Dit is baie interessant om die voorwaardelike geval van verspreiding te bespreek wanneer twee ewekansige veranderlikes die verdeling volg wat aan mekaar voldoen, ons sien eers kortliks die voorwaardelike verdeling in beide die geval van ewekansige veranderlikes, diskreet en kontinu, dan na bestudering van 'n paar voorvereistes fokus ons op die voorwaardelike verwagtinge.

Diskrete voorwaardelike verspreiding

     Met die hulp van gesamentlike waarskynlikheidsmassafunksie in gesamentlike verspreiding definieer ons voorwaardelike verspreiding vir die diskrete ewekansige veranderlikes X en Y deur gebruik te maak van voorwaardelike waarskynlikheid vir X gegee Y as die verspreiding met die waarskynlikheidsmassafunksie

mits die noemerwaarskynlikheid groter as nul is, kan ons dit in soortgelyk skryf as

in die gesamentlike waarskynlikheid as die X en Y onafhanklike ewekansige veranderlikes is, sal dit verander in

dus die diskrete voorwaardelike verdeling of voorwaardelike verdeling vir die diskrete ewekansige veranderlikes X gegee Y is die ewekansige veranderlike met die bogenoemde waarskynlikheid massa funksie op soortgelyke wyse vir Y gegewe X wat ons kan definieer.

Voorbeeld oor diskrete voorwaardelike verspreiding

  1. Vind die waarskynlikheid massa funksie van ewekansige veranderlike X gegee Y=1, as die gesamentlike waarskynlikheidsmassafunksie vir die ewekansige veranderlikes X en Y sekere waardes het as

p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3

Nou eerstens vir die waarde Y=1 wat ons het

gebruik dus die definisie van waarskynlikheidsmassafunksie

ons het

en

  • verkry die voorwaardelike verdeling van X gegee X+Y=n, waar X en Y Poisson-verdelings is met die parameters λ1 en λ2 en X en Y is onafhanklike ewekansige veranderlikes

Aangesien die ewekansige veranderlikes X en Y onafhanklik is, sal die voorwaardelike verspreiding waarskynlikheidsmassafunksie as hê

aangesien die som van Poisson ewekansige veranderlike weer poisson so is

dus sal die voorwaardelike verspreiding met bogenoemde waarskynlikheidsmassafunksie voorwaardelike verspreiding wees vir sulke Poisson-verdelings. Die geval hierbo kan veralgemeen word vir meer as twee ewekansige veranderlikes.

Deurlopende voorwaardelike verspreiding

   Die kontinue voorwaardelike verspreiding van die ewekansige veranderlike X gegee y wat reeds gedefinieer is, is die kontinue verspreiding met die waarskynlikheidsdigtheidfunksie

noemer digtheid is groter as nul, wat vir die kontinue digtheid funksie is

dus is die waarskynlikheid vir so 'n voorwaardelike digtheidsfunksie

Op soortgelyke wyse as in diskreet as X en Y onafhanklik is, dan ook

en vandaar

sodat ons dit kan skryf as

Voorbeeld oor Deurlopende voorwaardelike verspreiding

  1. Bereken voorwaardelike digtheidsfunksie van ewekansige veranderlike X gegee Y as die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidfunksie met die oop interval (0,1) gegee word deur

As vir die ewekansige veranderlike X gegee Y binne (0,1), dan deur die gebruik van die bogenoemde digtheidsfunksie het ons

  • Bereken die voorwaardelike waarskynlikheid

as die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidsfunksie gegee word deur

Om eers die voorwaardelike waarskynlikheid te vind, benodig ons die voorwaardelike digtheidsfunksie, so volgens die definisie sou dit wees

gebruik nou hierdie digtheidsfunksie in die waarskynlikheid die voorwaardelike waarskynlikheid is

Voorwaardelike verspreiding van tweeveranderlike normaalverspreiding

  Ons weet dat die tweeveranderlike normaalverspreiding van die normale ewekansige veranderlikes X en Y met die onderskeie gemiddeldes en variansies as die parameters die gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidfunksie het

Voorwaardelike verspreiding
voorwaardelike verspreiding van tweeveranderlike normaal verspreiding

dus om die voorwaardelike verdeling te vind vir so 'n tweeveranderlike normaalverdeling vir X gegewe Y word gedefinieer deur die voorwaardelike digtheidsfunksie van die kontinue ewekansige veranderlike te volg en die bogenoemde gesamentlike digtheidsfunksie wat ons het

Voorwaardelike verspreiding
Voorwaardelike verspreiding van tweeveranderlike normaalverspreiding

Deur dit waar te neem kan ons sê dat dit normaalverdeel is met die gemiddelde

en variansie

op soortgelyke wyse sal die voorwaardelike digtheidsfunksie vir Y gegewe X wat reeds gedefinieer is, net die posisies van die parameters van X met Y verwissel,

Die marginale digtheidsfunksie vir X kan ons uit die bogenoemde voorwaardelike digtheidsfunksie verkry deur die waarde van die konstante te gebruik

Voorwaardelike verspreiding
Voorwaardelike verspreiding van tweeveranderlike normaalverspreiding

kom ons vervang in die integraal

die digtheidsfunksie sal nou wees

aangesien die totale waarde van

deur die definisie van die waarskynlikheid so sal die digtheidsfunksie nou wees

wat niks anders is as die digtheidsfunksie van ewekansige veranderlike X met gewone gemiddelde en variansie as die parameters nie.

Gesamentlike Waarskynlikheidsverdeling van funksie van ewekansige veranderlikes

  Tot dusver ken ons die gesamentlike waarskynlikheidsverdeling van twee ewekansige veranderlikes, as ons nou funksies van sulke ewekansige veranderlikes het, wat sal dan die gesamentlike waarskynlikheidsverdeling van daardie funksies wees, hoe om die digtheid en verspreidingsfunksie te bereken, want ons het werklike situasies waar ons funksies van die ewekansige veranderlikes het,

As Y1 en Y2 is die funksies van die ewekansige veranderlikes X1 en X2 onderskeidelik wat gesamentlik kontinu is dan sal die gesamentlike kontinue digtheidsfunksie van hierdie twee funksies wees

waar Jakobus

en Y1 =g1 (X1, X2) en Y2 =g2 (X1, X2) vir sommige funksies g1 en g2 . Hier g1 en g2 voldoen aan die voorwaardes van die Jacobian as kontinu en het kontinue parsiële afgeleides.

Nou sal die waarskynlikheid vir sulke funksies van ewekansige veranderlikes wees

Voorbeelde oor gesamentlike waarskynlikheidsverdeling van funksie van ewekansige veranderlikes

  1. Vind die gewrigsdigtheidsfunksie van die ewekansige veranderlikes Y1 =X1 +X2 en Y2=X1 -X2 , waar X1 en X2 is die gesamentlike kontinue met gesamentlike waarskynlikheidsdigtheidfunksie. bespreek ook vir die verskillende aard van verspreiding.

Hier sal ons eers Jacobian nagaan

sedert g1(x1, x2)= x1 +x2  en g2(x1, x2)= x1 - x2 so

vereenvoudig Y1 =X1 +X2 en Y2=X1 -X2 , vir die waarde van X1 =1/2( Y1 +Y2 ) en X2 = Y1 -Y2 ,

as hierdie ewekansige veranderlikes onafhanklike eenvormige ewekansige veranderlikes is

of as hierdie ewekansige veranderlikes onafhanklike eksponensiële ewekansige veranderlikes met gewone parameters is

of as hierdie ewekansige veranderlikes dan onafhanklike normale ewekansige veranderlikes is

  • As X en Y die onafhanklike standaard normale veranderlikes is soos gegee
Voorwaardelike verspreiding

bereken die gesamentlike verspreiding vir die onderskeie poolkoördinate.

Ons sal deur gewone omskakeling X en Y omskakel na r en θ as

dus sal die gedeeltelike afgeleides van hierdie funksie wees

so is die Jacobian wat hierdie funksies gebruik

as beide die ewekansige veranderlikes X en Y groter as nul is, dan is voorwaardelike gewrigsdigtheidsfunksie

nou die omskakeling van kartesiese koördinaat na die poolkoördinaat met behulp van

dus die waarskynlikheidsdigtheid funksie want die positiewe waardes sal wees

vir die verskillende kombinasies van X en Y is die digtheidsfunksies op soortgelyke maniere

nou kan ons uit die gemiddelde van bogenoemde digthede die digtheidsfunksie as noem

en die marginale digtheidsfunksie vanaf hierdie gesamentlike digtheid van poolkoördinate oor die interval (0, 2π)

  • Vind die gewrigsdigtheidsfunksie vir die funksie van ewekansige veranderlikes

U=X+Y en V=X/(X+Y)

waar X en Y die gamma verspreiding met parameters (α + λ) en (β +λ) onderskeidelik.

Gebruik die definisie van gamma verspreiding en gesamentlike verspreidingsfunksie sal die digtheidsfunksie vir die ewekansige veranderlike X en Y wees

beskou die gegewe funksies as

g1 (x,y) =x+y, g2 (x,y) =x/(x+y),

dus is die differensiasie van hierdie funksie

nou is die Jacobian

na die vereenvoudiging van die gegewe vergelykings die veranderlikes x=uv en y=u(1-v) is die waarskynlikheidsdigtheidsfunksie

ons kan die verhouding gebruik

  • Bereken die gewrigwaarskynlikheidsdigtheidsfunksie vir

Y1 =X1 +X2+ X3 , J2 =X1– X2 , J3 =X1 – X3

waar die ewekansige veranderlikes X1 , X2, X3 die standaard is normale ewekansige veranderlikes.

Kom ons bereken nou die Jacobian deur gebruik te maak van gedeeltelike afgeleides van

Y1 =X1 +X2+ X3 , J2 =X1– X2 , J3 =X1 – X3

as

vereenvoudig vir veranderlikes X1 , X2 en X3

X1 = (Y1 + Y2 + Y3)/3 , X2 = (Y1 - 2 jaar2 + Y3)/3 , X3 = (Y1 + Y2 -2 Y3) / 3

ons kan die gewrigsdigtheidsfunksie veralgemeen as

so het ons

vir die normale veranderlike is die gewrigwaarskynlikheidsdigtheidsfunksie

vandaar

waar die indeks is

bereken die gewrigsdigtheidsfunksie van Y1 ……Yn en marginale digtheidsfunksie vir Yn waar

en Xi is onafhanklike identies verspreide eksponensiële ewekansige veranderlikes met parameter λ.

vir die ewekansige veranderlikes van die vorm

Y1 =X1 , J2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn

die Jacobian sal van die vorm wees

en dus is die waarde daarvan een, en die gesamentlike digtheidsfunksie vir die eksponensiële ewekansige veranderlike

en die waardes van die veranderlike Xi se sal wees

dus is die gewrigsdigtheidsfunksie

Om nou die marginale digtheidsfunksie van Y te vindn ons sal een vir een integreer as

en

soos wyse

as ons voortgaan met hierdie proses sal ons kry

wat die marginale digtheidsfunksie is.

Gevolgtrekking:

Die voorwaardelike verspreiding vir die diskrete en kontinue ewekansige veranderlike met verskillende voorbeelde met inagneming van sommige van die tipes van hierdie ewekansige veranderlikes wat bespreek is, waar die onafhanklike ewekansige veranderlike 'n belangrike rol speel. Daarbenewens het die gewrig verspreiding vir die funksie van gesamentlike kontinue ewekansige veranderlikes ook verduidelik met gepaste voorbeelde, as jy verdere lees nodig het, gaan deur onderstaande skakels.

Vir meer plasing oor Wiskunde, verwys asseblief na ons Wiskunde Bladsy

Wikipediahttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ek het my Ph.D. in Wiskunde en werk as 'n Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek hou daarvan om by te dra tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings