13 feite oor Chebyshev se ongelykheid en sentrale limietstelling


In die waarskynlikheidsteorie die Chebyshev se ongelykheid & sentrale limietstelling handel oor die situasies waar ons die waarskynlikheidsverdeling van som van groot getalle ewekansige veranderlikes in ongeveer normale toestand wil vind. Voordat ons die limietstellings kyk, sien ons sommige van die ongelykhede, wat die grense vir die waarskynlikhede verskaf as die gemiddelde en variansie is bekend.

INHOUDSOPGAWE

Markov se ongelykheid

Die Markov se ongelykheid vir die ewekansige veranderlike X wat slegs positiewe waarde vir a>0 neem, is

om dit te bewys vir 'n>0 oorweeg

Sedert

neem nou verwagting van hierdie ongelykheid wat ons kry

die rede is

wat die Markov se ongelykheid vir a>0 as gee

Chebyshev se ongelykheid

 Vir die eindige gemiddelde en variansie van ewekansige veranderlike X die Chebyshev se ongelykheid vir k>0 is

waar sigma en mu die variansie en gemiddelde van ewekansige veranderlike verteenwoordig, om dit te bewys gebruik ons ​​die Markov se ongelykheid as die nie-negatiewe ewekansige veranderlike

vir die waarde van 'n as konstante vierkant, dus

hierdie vergelyking is gelykstaande aan

so duidelik

Voorbeelde van Markov en Chebyshev se ongelykhede :

  1. As die produksie van spesifieke item as ewekansige veranderlike vir die week met gemiddeld 50 geneem word, vind die waarskynlikheid dat produksie 75 in 'n week sal oorskry en wat sal die waarskynlikheid wees as die produksie van 'n week tussen 40 en 60 is, mits die variansie daarvoor week is 25?

Oplossing: Oorweeg die ewekansige veranderlike X vir die produksie van die item vir 'n week en dan vind ons die waarskynlikheid dat produksie 75 oorskry wat ons sal gebruik Markov se ongelykheid as

Nou sal ons die waarskynlikheid vir die produksie tussen 40 tot 60 met variansie 25 gebruik Chebyshev se ongelykheid as

so

dit wys die waarskynlikheid vir die week as die produksie tussen 40 en 60 is, is 3/4.

2. Wys dat die chebyshev se ongelykheid wat die boonste grens aan die waarskynlikheid verskaf, is nie besonder nader aan die werklike waarde van die waarskynlikheid nie.

Oplossing:

Beskou die ewekansige veranderlike X is eenvormig versprei met gemiddelde 5 en variansie 25/3 oor die interval (0,1) dan deur die chebyshev se ongelykheid ons kan skryf

maar die werklike waarskynlikheid sal wees

wat ver van die werklike waarskynlikheid is, net so as ons die ewekansige veranderlike X neem soos normaalverdeel met gemiddelde en variansie dan Chebyshev se ongelykheid sal

maar die werklike waarskynlikheid is

Swak wet van groot getalle

Die swak wet vir die volgorde van ewekansige veranderlikes sal gevolg word deur die resultaat dat Chebyshev se ongelykheid kan gebruik word as die instrument vir bewyse om byvoorbeeld te bewys

as die variansie nul is, is dit die enigste ewekansige veranderlikes met afwykings gelyk aan 0 is dié wat konstant is met waarskynlikheid 1 dus deur Chebyshev se ongelykheid vir n groter as of gelyk aan 1

as

deur die kontinuïteit van die waarskynlikheid

wat die resultaat bewys.

Swak wet van groot getalle: Vir die volgorde van identies verspreide en onafhanklike ewekansige veranderlikes X1,X2,……. wat elk die eindige gemiddelde E[X heti]=μ, dan vir enige ε>0

om dit te bewys neem ons aan dat variansie ook eindig is vir elke ewekansige veranderlike in die ry, dus die verwagting en variansie

nou van die Chebyshev se ongelykheid die boonste grens van die waarskynlikheid as

wat vir n neig na oneindigheid sal wees

Sentrale limietstelling

Die sentrale limietstelling is een van die belangrike resultate in waarskynlikheidsteorie aangesien dit die verdeling gee na die som van groot getalle wat ongeveer normaal is verspreiding bykomend tot die metode om die benaderde waarskynlikhede vir somme van onafhanklike ewekansige veranderlikes te vind, toon sentrale limietstelling ook die empiriese frekwensies van soveel natuurlike populasies vertoon klokvormige gemiddelde normale krommes, Voordat ons die detail verduideliking van hierdie stelling gee, gebruik ons ​​die resultaat

“As die volgorde van ewekansige veranderlikes Z1,Z2,…. het die verspreidingsfunksie en momentgenererende funksie as FZn en Mzn dan

Sentrale limietstelling: Vir die volgorde van identies verspreide en onafhanklike ewekansige veranderlikes X1,X2,……. wat elk die gemiddelde μ en het variansie σ2 dan die verdeling van die som

neig na die standaard normaal aangesien n na oneindig neig vir a om werklike waardes te wees

Bewys: Om die resultaat te bewys, beskou die gemiddelde as nul en variansie as een, dws μ=0 & σ2=1 en die oomblik genererende funksie vir Xi bestaan ​​en eindig gewaardeer sodat die oomblikgenererende funksie vir die ewekansige veranderlike Xi/√n sal wees

dit is die momentgenererende funksie vir die som ΣXi/√n sal wees

Kom ons neem nou L(t)=logM(t)

so

om die bewys te toon wat ons eers wys

deur sy ekwivalente vorm aan te toon

sedert

dus wys dit die resultaat vir die gemiddelde nul en variansie 1, en dieselfde resultaat volg vir die algemene geval ook deur

en vir elke a wat ons het

Voorbeeld van die Sentrale Limietstelling

Om die afstand in ligjaar van 'n ster vanaf die laboratorium van 'n sterrekundige te bereken, gebruik hy 'n paar meettegnieke, maar as gevolg van verandering in atmosfeer elke keer is die afstand wat gemeet word nie presies nie, maar met 'n fout om die presiese afstand te vind waarna hy beplan. waarneem voortdurend in 'n volgorde en die gemiddelde van hierdie afstande as die geskatte afstand, As hy die waardes van meting identies versprei en onafhanklike ewekansige veranderlike met gemiddelde d en variansie 4 ligjaar beskou, vind die aantal metings om te doen om die 0.5 fout te verkry in die geskatte en werklike waarde?

Oplossing: Kom ons beskou die metings as die onafhanklike ewekansige veranderlikes in ry X1,X2,……….Xn so deur die Sentrale limietstelling ons kan skryf

wat die benadering tot standaard is normale verspreiding so die waarskynlikheid sal wees

dus om die akkuraatheid van die meting op 95 persent te kry, moet die sterrekundige n* afstande meet waar

so vanaf die normaalverdelingstabel kan ons dit skryf as

wat sê die meting moet vir 62 aantal kere gedoen word, dit kan ook met behulp van waargeneem word Chebyshev se ongelykheid deur te neem

so die ongelykheid lei tot

vandaar vir n=16/0.05=320 wat sekerheid gee dat daar slegs o.5 persent fout sal wees in die meting van die afstand van die ster vanaf die laboratorium van waarnemings.

2. Die aantal toegelate studente in ingenieurskursus is Poisson-verdeel met gemiddeld 100, daar is besluit dat indien die toegelate studente 120 of meer is, die onderrig in twee afdelings sal wees, andersins slegs in een afdeling, wat sal die waarskynlikheid wees dat daar twee afdelings vir die kursus wees?

Oplossing: Deur die Poisson-verspreiding te volg sal die presiese oplossing wees

wat natuurlik nie die spesifieke numeriese waarde gee nie, As ons die ewekansige veranderlike X beskou as die studente wat dan deur die sentrale limietstelling

wat kan wees

wat die numeriese waarde is.

3. Bereken die waarskynlikheid dat die som op tien dobbelstene wanneer gerol tussen 30 en 40 is, insluitend 30 en 40?

Oplossing: Kyk hier na die dobbelsteen as Xi vir tien waardes van i. die gemiddelde en variansie sal wees

dus na aanleiding van die sentrale limietstelling ons kan skryf

wat die vereiste waarskynlikheid is.

4. Vir die eenvormig verspreide onafhanklike ewekansige veranderlikes Xi op die interval (0,1) wat sal die benadering van die waarskynlikheid wees

Oplossing: Uit die Unifrom-verdeling weet ons dat die gemiddelde en variansie sal wees

Gebruik nou die sentrale limietstelling ons kan

dus sal die som van die ewekansige veranderlike 14 persent wees.

5. Vind die waarskynlikheid vir die evalueerder van die eksamen om punte te gee, sal 25 eksamens in aanvang 450 min wees as daar 50 eksamens is waarvan die graderingstyd onafhanklik is met gemiddelde 20 min en standaardafwyking 4 min.

Oplossing: Oorweeg die tyd wat nodig is om die eksamen volgens die ewekansige veranderlike X te gradeeri dus sal die ewekansige veranderlike X wees

aangesien hierdie taak vir 25 eksamen binne 450 min so is

hier met behulp van die sentrale limietstelling

wat die vereiste waarskynlikheid is.

Sentrale limietstelling vir onafhanklike ewekansige veranderlikes

Vir die ry wat nie identies versprei is nie, maar met onafhanklike ewekansige veranderlikes X1,X2,……. wat elkeen die gemiddelde μ en variansie het σ2 mits dit bevredig

  1. elke Xi is eenvormig begrens
  2. som van die afwykings is dan oneindig

Sterk wet van groot getalle

Sterk wet van groot getalle is 'n baie belangrike konsep van die waarskynlikheidsteorie wat sê dat die gemiddeld van volgorde van algemeen verspreide ewekansige veranderlike met waarskynlikheid een sal konvergeer na die gemiddelde van dieselfde verspreiding

Verklaring: Vir die volgorde van identies versprei en onafhanklike ewekansige veranderlikes X1,X2,……. wat elkeen die eindige gemiddelde het met waarskynlikheid een dan

Bewys: Om dit te bewys, oorweeg die gemiddelde van elke ewekansige veranderlike is nul, en die reeks

nou vir hierdie oorweeg krag van hierdie as

nadat ons die uitbreiding van die regterkantterme geneem het, het ons die terme van die vorm

aangesien dit onafhanklike is, sal die gemiddelde hiervan wees

met die hulp van kombinasie van die paar sal die uitbreiding van die reeks nou wees

sedert

so

kry ons

dit dui op die ongelykheid

vandaar

Deur die konvergensie van die reeks aangesien die waarskynlikheid van elke ewekansige veranderlike een so is

sedert

as die gemiddelde van elke ewekansige veranderlike nie gelyk is aan nul nie, dan kan ons dit met afwyking en waarskynlikheid een skryf as

or

wat 'n vereiste resultaat is.

Eensydige Chebyshev Ongelykheid

Die eensydige Chebysheve-ongelykheid vir die ewekansige veranderlike X met gemiddelde nul en eindige variansie as a>0 is

Chebyshev se ongelykheid
chebyshev ongelykheid

om dit te bewys, oorweeg vir b>0, laat die ewekansige veranderlike X as

wat gee

gebruik dus die Markov se ongelykheid

Chebyshev se ongelykheid
eensydige chebyshev

wat die vereiste ongelykheid gee. vir die gemiddelde en variansie kan ons dit as skryf

Dit kan verder geskryf word as

voorbeeld:

Vind die boonste grens van die waarskynlikheid dat die produksie van die maatskappy wat ewekansig versprei word, minstens 120 sal wees, as die produksie van hierdie sekere maatskappy gemiddeld 100 en variansie 400 het.

Oplossing:

Gebruik die eenkant chebyshev ongelykheid

so dit gee die waarskynlikheid van die produksie binne 'n week ten minste 120 is 1/2, nou sal die grens vir hierdie waarskynlikheid verkry word deur Markov se ongelykheid

wat die boonste grens vir die waarskynlikheid toon.

voorbeeld:

Honderd pare word geneem van tweehonderd persone met honderd mans en honderd vroue vind die boonste grens van die waarskynlikheid dat hoogstens dertig paar 'n man en 'n vrou sal bestaan.

Oplossing:

Laat die ewekansige veranderlike Xi as

sodat die paar uitgedruk kan word as

Aangesien elke man ewe waarskynlik saam met oorblywende mense kan wees waarin honderd vroue is, is dit die gemiddelde

op dieselfde manier as i en j dan nie gelyk is nie

as

daarom het ons

gebruik van die chebyshev ongelykheid

wat sê dat die moontlikheid om 30 mans met vroue te koppel minder as ses is, dus kan ons die grens verbeter deur eensydige chebyshev ongelykheid

Chernoff gebind

As die oomblikgenererende funksie dan reeds bekend is

as

op dieselfde manier kan ons skryf vir t<0 as

Dus kan die Chernoff-gebonde gedefinieer word as

hierdie ongelykheid staan ​​vir al die waardes van t positief of negatief.

Chernoff grens vir die standaard normale ewekansige veranderlike

Die Chernoff gaan na die standaard normale ewekansige veranderlike wie se oomblikgenererende funksie

is

so die vermindering van hierdie ongelykheid en regterkantse kragterme gee vir a>0

en vir 'n <0 is dit

Chernoff grens vir die Poisson ewekansige veranderlike

Die Chernoff grens vir die Poisson ewekansige veranderlike wie se moment genererende funksie

is

so die vermindering van hierdie ongelykheid en regterkantse kragterme gee vir a>0

en dit sou wees

Voorbeeld op Chernoff Bounds

In 'n wedstryd as 'n speler ewe waarskynlik die wedstryd óf wen óf verloor, onafhanklik van enige vorige telling, vind die chernoff-grens vir die waarskynlikheid

Oplossing: Laat Xi dui die wen van die speler aan dan sal die waarskynlikheid wees

vir die volgorde van n toneelstukke laat

dus sal die oomblikgenererende funksie wees

gebruik hier die uitbreidings van eksponensiële terme

so het ons

pas nou die eienskap van momentgenererende funksie toe

Dit gee die ongelykheid

vandaar

Gevolgtrekking:

Die ongelykhede en limietstelling vir die groot getalle is bespreek en die regverdigbare voorbeelde vir die grense van die waarskynlikhede is ook geneem om 'n blik op die idee te kry. die konsep maklik, as jy verdere lees nodig het, gaan deur onderstaande boeke of vir meer artikel oor waarskynlikheid, volg asseblief ons Wiskunde bladsye.

'n Eerste kursus in waarskynlikheid deur Sheldon Ross

Schaum se buitelyne van waarskynlikheid en statistiek

'n Inleiding tot waarskynlikheid en statistiek deur ROHATGI en SALEH

DR. Mohammed Mazhar Ul Haque

Ek is DR. Mohammed Mazhar Ul Haque. Ek het my Ph.D. in Wiskunde en werk as 'n Assistent-professor in Wiskunde. Het 12 jaar ondervinding in onderwys. Met groot kennis in Suiwer Wiskunde, presies oor Algebra. Met die geweldige vermoë van probleemontwerp en -oplossing. In staat om kandidate te motiveer om hul prestasie te verbeter. Ek hou daarvan om by te dra tot Lambdageeks om Wiskunde Eenvoudig, Interessant & Selfverduidelikend vir beginners sowel as kundiges te maak. Kom ons koppel deur LinkedIn - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Onlangse plasings